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２０１７／０９／２７ 更新
這篇文章的續篇連結：《大學的數學系在學什麼？（其他科目）》
能力所不及，續篇並沒有辦法像這篇一樣講得這麼完整，內容改為提出一些我學到覺得很有趣的觀點。
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這系列文章的目的很單純，設法向沒有唸過數學系的人解釋數學系在學什麼，不管你是高中生想唸數學系，還是自己不知為何純粹地好奇。
我講的絕對不是全貌，但我盡量把我在每門課學到的一點點東西用比較白話（但相對比較不嚴謹）的方式表達出來。
「＊」標記表示是發表後新增的段落，應這篇文章在數學愛好者裡朋友們的討論加入的東西，如果有高中生有什麼讀不太懂的地方，可以在此（或在該討論串）留言詢問（或上網google（？））。
大一：
〈微積分〉
概括性地說，這門課是在學「極限」，在幾百年以前，極限就只是一個直觀的概念，例如n趨近1的話，2/n趨近多少？你不需要學過極限的定義，你一樣能照直覺回答它會趨近2。微積分就是一群人在討論眾多這些關於「極限」的直覺，最後提煉出來的產物（定義），這個產物足以吻合人們一般對極限的直覺，也能解決人們直覺不敢肯定的問題。
什麼叫做趨近一個數？就是你要多靠近它就能有多靠近它，以上面那個例子來說，給定你一個距離0.5，你能不能找到一個範圍，使得n只要那麼地靠近1，2/n就會跟2的距離小於0.5？例如n如果是0.9（跟1差0.1），2/0.9≒2.22，和2相差小於0.5。（事實上你可以證明如果n跟1的差距小於0.1的話，|2/n – 2|<0.5）
當然，「要多靠近就能有多靠近」就是你要求的距離可以任意給，不管給定多小的距離，你都能找到一個範圍，使得n落在這個靠近1的範圍裡時，2/n都和2相差那麼小。
有了對極限的定義以後（即要多靠近就能有多靠近，數學式當然不是用中文寫的，但概念上是這樣），就用它來探討更多東西。
＊ 先談「連續」，在直觀上一筆畫畫得完的東西看起來就是連續的，有了極限的定義後，連續就可以定義成「趨近該點的極限值等於該點函數取值」，如此一來，一條線中拿掉一個點，例如把它往上移1單位，在那個空心的地方連續嗎？當你在這條線上行走趨近斷點時，你趨近的那個點就是那個空心的地方，但函數在該點的取值卻是往上1單位的地方，兩者不同，所以在該點不連續。
「微分」即「函數的瞬間變化量」，以高中常見的函數f(x)來說，這個函數在a點的微分就是圖形上在f(a)那點的切線的斜率。你想像你在爬山，你往前走幾步，上升了多少高度，這個比例就大概是斜率，直觀上山坡越陡峭斜率越大。但你說往前走幾步看上升多少，萬一前面的路就是上上下下的呢？也許我腳下這裡很陡峭，但往前走幾步一下高，一下低，又回到原來高度，這樣測出來的斜率就不準了，我要怎麼知道局部有多陡峭？同樣地就是使用「極限」。
我們決定你那一步要走得多小，看看你往前走「那麼一小步」，你會升高或降低多少。可是這「一小步」到底要多小呢？答案是趨近於0，當你往前走了一個趨近於0的距離，「高度變化量/那一小步的距離」就趨近於該點的切線的斜率。
在這裡就可以看到為什麼我們需要嚴謹的極限定義，這不像前面2/n我們可以直接帶n=1進去得出2/n=2，這裡沒辦法直接把0這個值帶進去，因為分母（那一小步）是0的話就不知道值應該是多少。
「積分」，積分最初就是在計算面積，我們知道一個長方形的面積是長乘以寬，那一個圓的面積怎麼算？一個橢圓的面積怎麼算？一個不規則圖形要怎麼計算面積？
當然有很多種辦法，但我這裡講最後變成大一微積分的方法，就是將圖形分割成一條一條的長方形（略掉彎曲包含不到的部份），計算這些長方形的面積總和，當然，你選的長方形寬越小，包含不到的部份就越少，就越能逼近實際的面積，當你取長方形的寬趨近於0時，「那一堆小長方形的面積相加」就會趨近你實際的面積。
＊ 這裡會探討到（數學系的微積分比較會探討），怎麼樣的函數可以微分、積分？如果我們把微分的式子（[f(x)-f(a)]/(x-a)）寫出來，能證明當x趨近a時，這個式子的極限存在（趨近某個值，趨近無限大或負無限大通常視為不存在），那就證明了它在該點可微，如果極限不存在，那就不可微，但什麼叫做極限不存在？例如會趨近無窮大的（要多大就能有多大）就是不存在；或者是你可以證明不管在離a距離多小的區間裡面，都能找到一個y，這個y會使得函數取值（[f(y)-f(a)]/(y-a)）距離我們認為的極限值大於某個定值，這樣就表示若你選定了一個「要多靠近」的距離小於那個定值，那麼你就不可能找到一個a附近的區間，使得該區間裡面的每個點都和你認定的極限值差距小於那個定值（因為多小的區間都能找到一個數不滿足條件）。
＊ 可不可以積分也是同樣的，當然這件事情從定義來作非常麻煩，所以微積分的中期會講許多定理，一個函數滿足某些條件（例如：連續函數在閉區間上）的話，它就可以積分，有些會證（就一樣從定義證過來，只是證一個廣泛的命題），有些應該是會留到高等微積分才會證。數學系的微積分會把重點放在證明的細節裡面，這裡為什麼可以這麼做？什麼樣的情況下可以這麼做？很多時候你就必須想，為什麼這個條件是必要的？如果拔掉這個條件會怎樣？會有什麼反例？而不能像其他科系普遍使用的數學一樣，看起來可以就說可以了。
＊ 見註１：判斷可不可積的範例。
學完基本的微分和積分後，微積分裡最重要的觀察就會出現──「微分和積分互相為反運算」，你對一個函數積分，再對積分後的函數取微分，就會得到原本的函數，反之亦然（但會多差一個常數）。
這個觀察直觀上是什麼意思呢？例如將你在山上往前走，往前走的距離跟高度畫成一個函數圖形，你可以計算你走過的這條路徑，與高度為0的地面之間，這塊圖形的「面積」，一般情況下你可以想像，你走得這條路徑越長，腳下到高度為0的地面掃過的面積越大。你可以藉由積分得到一個函數，這個函數會告訴你，當你往前走多少距離時，你腳下掃過的面積是多少（你可以想像你腳底延伸出一條線直達高度為0的地方，這裡的面積是指這條線掃過的面積）。
有了積分出來的函數後，這個函數的微分是什麼意思？就是你多往前走一點點距離，你腳底下那條線掃過的面積會增加多少，「面積增加多少/多走的那一點距離」就是其微分後的取值，你想你要是走得距離夠短，你的高度變化量就會夠小，腳下那條線掃過的面積就會趨近於長方形，這個長方形的面積是它的寬（就是你往前多走一點的距離）乘以它的高（就是你當時身處位置的高度）。
面積增加多少＝該小長方形的面積；多走的那一點＝該小長方形的寬。所以兩者一除，它的微分就是你在該點的高，原本是距離相對於高度，積分後變成距離相對於掃過的面積，再微分後，就變回了原本的函數。
這個定理（觀察）之所以會這麼重要，除了因為一開始微分和積分是兩門分開發展的學問，你想想瞬間變化量跟面積有什麼關係？還有是因為，對絕大多數已知的函數來說，「微分」比「積分」還簡單。要計算一個函數的微分，就是去算它往前走一點，高度變化量啊（高度變化量/走的一小步）；但要計算一個函數的積分，就要分割長方形，然後找到一種適當的分割方式，使得這些長方形的寬跟高很好計算，不然你就很難知道當長方形的寬趨近於0，有趨近於無限多個小長方形面積相加時，他們的和會趨近於多少。（例如1+1/2+1/4+1/8+…這個級數和雖然有無限多項，但你大致上能看出（也可以證明）這無限多項如果會趨近一個值的話，會趨近哪個值（ans:2），但如果每項沒有一定規律，就很難估算）
微分比積分簡單又怎樣？我們對問題的思考角度就反了過來，當我們要積分一個函數的時候，我們就有其他種解法，不用去分割小長方形，我只要找出「哪個函數的微分會是這個函數？」，找到了這樣的函數，我們就知道它是原函數的積分。互為反運算就像乘法跟除法（這兩者也互為反運算）一樣，你問217除以7等於多少，這個問題就相當於問：「哪個數字乘以7會等於217？」當然在乘法和除法的例子中，兩者之間的難度差異沒有那麼明顯（因為我們計算除法的方式就是一直減，去找出哪個數字乘以它不會超過被除的數字，重複這個操作，這基本上就是設法找一個數字乘以它會等於被除數。）
有了這種觀點後，很多函數的積分就變簡單了，例如如果你要算3x^2+4x^3的積分，你用分割去算可能會算到累死，但如果你知道x^3的微分=3x^2，x^4的微分=4x^3，那原本那個函數的積分就是x^3+x^4（因為這個函數的微分等於它）。
這種把複雜的事情變成已知如何處理的事情，一直都是數學系裡在做的事情（其實人生很多時候也是這樣），微積分後面就延續前面的想法，來計算更多變數的積分（例如三維空間中的球的體積），不同的座標之間積分轉換，例如「單位圓」可以用x^2+y^2≦1表示，也可以用r^2≦1，0≦θ＜2pi來表示，這兩種表示法都可以佈滿整個圓，用前者的座標去算積分，得出我們常見的圓面積，但用後者去積分會得出什麼？跟用前者積分得出的結果有什麼關聯？
微積分這門課的後期會舉出很多函數，去算算它們的微分（也相對地就知道了某些函數的積分會變成它們），函數經過合成之後微分會怎樣、反函數的微分要怎麼計算（反函數什麼情況下可微？），三角函數的微分……
最後微積分結尾會學到Green Thm，在某些條件下，你可以把一塊區域（雙變數）的積分（例如三維中的一塊丘陵的體積），經過轉換後，轉換成一條線的積分（當然要定義何謂線積分，基本上就是單變數的積分，跟前面一開始討論的一樣），結果兩者答案會一樣。這也是微積分很有意思的地方，為什麼可以做這種事情？這門大一的課應當能讓你理解最簡單的Green Theorem的版本為何是正確的，或至少能讓你理解這個「直覺」為何是正確的。（前提是你修的是數學系的微積分）
談「微積分」到這裡，這門課在四年的課程中佔非常重要的比例，因為後面會一直用到，大二高等微積分會用到（雖然我覺得高微的重點不在計算這部份），大三的微分方程會用到，大三的幾何更是用得非常誇張（幾何這門課用到大一到大三學過的所有東西）。也是數學系裡和其他理工科系連結最大的一門課。也許學完之後放個暑假，你就會把一堆積分的公式、一些定理的證明細節給忘掉，但基本上你至少要留下上述這些印象、直觀上的理解。（有些老師會希望學生拋棄直觀，接受定義就是那樣，但我自己不覺得那樣能學得好就是了。）
＊ 如果你讀完這篇文章，沒有感到美、或稍微對這些理論背後的因由有些好奇的話，那可能就表示大學的數學系不是你適合來的地方，許多理工科系都會使用到微積分裡的東西，但他們多半只在意怎麼用，結果有什麼用，數學系一方面有可能發展出新的理論（目前在現實生活中找不到範例的理論），也對許多直觀的概念抽離出定義，推廣到普遍的情況，例如你高中時大概就知道，位移的切線斜率就是速度，速度函數底下的面積就是位移量，這件事情直觀上也大致可以理解，但普遍來說這是對的嗎？為何是對的？什麼情況下會是對的？這就是數學系在做的事情。
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註１：
我預期這部份對於高中生來說過於抽象，所以拉到備註來講。
設定一個函數f:R->{0,1}，當x是有理數時，f(x)=2；當x是無理數時，f(x)=1
這個圖型畫出來的話（事實上沒辦法畫），看起來就是x,y平面上的y=2和y=1兩條直線，每條線上都有無數個斷點。
現在問題是，這個函數在[0,1]區間內可以積分嗎？（這裡的積分是指微積分必定會教的黎曼積分，概念就如這篇文章上說的（其實我也沒學會其他種類的積分））
在黎曼積分下，我們要把函數底下的面積用一堆小長方形去逼近，小長方形的寬可以很小，但是「高」要怎麼決定？面對一個漂亮的函數時（例如f(x)=x^2），這個函數是連續的，你可以設想「高」就是從ｘ軸頂到y=x^2那條線的小長方形高度，當然你也可以一開始先挑一個很高的小長方形，再慢慢地減少高度，直到它碰到y=x^2，前者的作法計算出的面積會比實際面積略小，後者的作法則是會略大，但當你細分的小長方形的寬越來越小時，兩種估算方法得出的面積會趨近一個定值，這個定值就是它底下的面積，理由是你用前者的估法，得出的值小於等於實際的面積，後者的估法則是大於等於實際的面積，而兩者趨近的值一樣，表示實際面積小於等於這個定值，又大於等於這個定值，推得兩者是相等的。
事實上，一個連續函數，你小長方形的高可以從函數在該「寬」裡面的取值裡任選，當寬越來越小時，這堆小長方形的面積也會收斂到同個定值。（意即連續函數在閉區間上必然黎曼可積）
回到原本的問題，這個函數f在[0,1]可積嗎？
f:R->{0,1}，當x是有理數時，f(x)=2；當x是無理數時，f(x)=1
由於不管小長方形的寬有多小，區間之內必然仍有有理數和無理數，如果我們每個小長方形的高都挑有理數的點，那麼全部的面積加起來就是2；但如果高度都挑無理數的點，那麼全部的面積加起來就是1。不同的選法結果卻不一樣，以黎曼積分的算法，這個函數的面積既收斂到2，又收斂到1，一個數不可能同時收斂到兩個數，所以結果是不存在，黎曼積分不能給出這個函數的面積，這個函數在[0,1]區間不可積。
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