這篇文章寫了很久。（其實是拖了很久）（不過拖了很久的文章也不算少數）
不過也是因為拖了很久，才有這麼多東西可以寫。
剛好三個東西，都跟「有限」有關係。
覺得滿有趣的～就寫了出來。
第二題則是去某個地方敎數學的時候，一個孩子拿了台中一中的資優班入班考題來。
（裡面還有些考古題勒XD）
那時討論沒結果，等到那天回家的時候才想透徹。
最後魔術方塊的部份跟群論有關，是家教的時候偶然想到的。（剛好和孩子在玩魔術方塊）
不過，其實也不需要那麼複雜的解釋才能理解。
－－－－－
（這題的題目請看http://ddxu2.pixnet.net/blog/post/205886024往下拉，的第一題）
最近仍偶爾會想，關於那題翻牌的問題，要如何能夠確定給定ｎ時，最多翻幾次即可使１到最上面？
試過一些想法，仍沒有頭緒。
反倒是洗澡的時候，又想到了一個新的証明方式。（其實有些大同小異）
首先，給定ｎ張牌，隨意洗牌。
接著把每張牌的編號依順序記下。
例如，可能一開始最頂端那張牌是３，第二張牌是５，就記成「３，５，……」
這組記下來的數字，其實就是把１～ｎ個數字依隨意順序排列，所得出來的其中一種排列。
而這樣排列出來可能的結果總共有ｎ！種，意思是，今天我隨意洗那ｎ張牌，不管怎麼洗，洗完之後把排的編號依序記下來，一定會和那ｎ！種排列方式中的其中一種一樣。
（簡單說就是，牌數有限，那麼牌的堆疊結果就有限。）
那現在，我依照規則，依照最上面那張牌的數字執行操作（假如是ｋ，而且ｋ不是１），把前ｋ張牌翻轉過來。
操作完之後，把牌的編號依順序記下，一樣會是一組１～ｎ個數字所排出的數列。
而很明顯的，這一組一定和翻轉前的那組不同。（除非ｋ是１，才會一樣）
意思是，我每執行一次操作，就會變成那ｎ！種排列方式中的另外一種。
一開始隨意給訂一組順序，因為排列出的組合是有限的，如果我把每一次操作後的牌組都如之前的方法記下順序，再加上一個假設：「操作過程中，不會出現和先前同樣的排列。（意思相當於，操作過程中，不會出現循環）」
這個假設，舉例來說，當ｎ是５，一開始如果是「３、４、２、５、１」，翻一次後，變成「２、４、３、５、１」，我不可能翻翻翻之後，又變回了「３、４、２、５、１」。（除非開頭是１。）
當然，如果操作過程中，牌組的順序是會循環的，那麼它就必然可以翻無限次一直翻下去。（因為如果原本「３，４，２，５，１」翻翻翻之後變成「３，４，２，５，１」，那麼現在開始，因為依據的翻牌規則是同樣的，之後出現的順序也會相同，它翻翻翻之後仍然會變成「３，４，２，５，１」。）
回到剛才，如果滿足了這個假設（同樣的排列方式不會出現第二次），那麼每翻一次，就會出現一個新的排列方式。而因為牌組的「排列方式」是有限的，那每次翻一次都會出現新的，假如真的可以翻那麼多次好了，翻到ｎ！次的時候（此時前面已經出現過了ｎ！種排列方式），再翻一次，這次出現的牌組依然是ｎ！排列方法中的某一種，那就循環了，而根據假設，這是不可能的，所以牌組必然不可能翻超過ｎ！次。
這就證明了操作次數是有限的（≦ｎ！），而有限的操作就表示它停止了，而操作停止，只有可能是在１被翻到最上面的時候。就證得了。
那接著，就要回顧剛才的假設，畢竟前面的推論是依據那個假設才成立的。
那個假設是「操作過程中，牌組的排列順序不會重複出現。（亦可說不會循環）」。
現在要證明這個假設。
使用反證法，我先假設（又用了假設這個字XD），操作過程中是有可能會循環的。
例如假設可能「３，５，４，２，６，１」翻了很多次之後，又翻回了「３，５，４，２，６，１」。
接著，把每一次操作時，頂端上的第一張牌依序記下來。
舉那個範例，記下來後就是「３，４，２，……」
把記下來的這組數列裡面最大的數字挑出來，就說是ｍ好了。
意思是每循環一次，就會翻到一次ｍ在最頂端的情況。
而循環過程中操作的第一張牌，最大都不超過ｍ。
但，ｍ在被翻過一次之後，就到了排列中的第ｍ個位置啊。
接著如果沒有翻到比ｍ還大的牌，ｍ就會一直在第ｍ個位置，根本不會動。
那剛才說它會無限循環，每次循環都翻到ｍ，這就不可能了。
第一次翻到ｍ後，沒有翻到比ｍ大的牌之前，是不可能再次翻到ｍ的。（只要ｍ不是１）
所以產生了錯誤，假設操作過程中會出現循環，是不可能的。
意思是，操作過程中，必然不會出現循環。
每操作一次，得出來的排列順序，都會和前面的排列順序不一樣。
證完了這個假設，如前，滿足這個假設下，此題得證。
而恰好又聯想到，先前一個孩子問我的題目。
一樣是有限，似乎數量有限是個挺強的條件（？）。
題目是這樣的：「平面上２０１２個相異的點（位置不同的意思），是不是一定能夠劃出一條直線（無限延長的直線），把平面分割成兩個部份，而恰好一邊有１００６個點，另外一邊也有１００６個點（就是恰好切半啦）。是的話請證明，否則舉反例。」
被問的當下沒有想出來，在和孩子經過一番討論之後，在回家的路上想了透徹。
我很想較為狂妄地稱這個定理（證明）叫做「有限點的平均值定理」XDD。
（我這裡的意思是存在一條線把一個有面積的圖形平分，而圖形的面積可以理解成無限多個點構成的，所以才說是「有限點的平均值定理」。）
不過目前想設法推廣適用條件，卻不知如何下手。
一開始用少數的點來實際畫畫看，發現要找到一條線恰好切半是滿容易的。
也不曉得有什麼方法可以刻意設計出「無法」一條線切半的情況。
這時想起了平均值定理（我不確定名子是不是對的XD）。
它的證明方法大略來說是，把那條線從整個圖形的左側平移到右側，而在這過程中，圖形在線左側部份的面積會越來越多，右側會越來越少，而到某個時刻兩側的面積會洽好一樣（就不詳細說了，其實也滿直觀的）。
我就做了類似的聯想，想像有好多個點，然後有一條線從這一大堆點的之外的左側，慢慢地平移到右側。
這樣在線左邊點的數量就會越來越多（而右側會越來越少）。
嗯……這樣就會在移動到某一個時刻時左右側點的數量一樣多了嗎？
可能移動到一半時，左側有１００５個點，右側有１００７個點，這時再往右移，直到穿過下一個點……
如果恰好穿過了下一個點，那就剛好左右側都是１００６個點了。
但……如果沒有恰好穿過下一個點，而是下２個點呢？剛好一次穿過２個點？
這樣越過去的瞬間就會是左側１００７個，右側１００５個，就沒有剛好對分了。
或者是在關鍵的時刻，穿過的點是３個、４個？
那樣這個論述就沒辦法說一定會找到了。
嗯……什麼時候，那條移動的線，會在平移的過程中，一次穿過２個點啊？
如果我能夠弄出一條線，它平移的過程中不會一次穿過２個以上的點，那就可以啦。
那就要先思考這個條件，什麼樣的線，平移過程中會一次穿過２個以上的點？
兩個點可以連出一條直線……如果原本選的那條線，平移過程中穿過這兩個點，就表示那瞬間，它和那兩點的連線重合了。
意思是……原本是平行的？
一開始拿來平移的線，如果和某兩個點的連線平行，那麼在平移的過程中，穿過這兩點時，一定是一次穿過這兩點，而不可能只穿過１點。
而，如果某兩點連線和挑選的那條線不平行，那麼平移過程中，一定也不可能一次通過這兩點，而是必然會一次僅通過其中一點。
哈哈！
這就表示，我只要一開始挑選拿來平移的線，和「２０１２裡面任意兩點連線」皆不平行，那在我平移的過程中，就一定是一個點一個點穿過啦。
只要這條線存在，就證完了。
平行，若在座標平面上，亦可理解成斜率相同（或者同為不存在（垂直的情況））。
那兩個點連線得出一條線，這條線會有一個斜率。
２０１２個點，我把裡面每兩點連線全部畫出來，這裡有好多好多條線，它們的斜率或許相同，或許不同。
但，不管怎樣，因為點是有限的（２０１２個），所以每次挑兩個的方式也是有限的，意思是總共畫出了有限條的線。
有限條的線，每條線都有一個斜率，我能不能夠找到一條線，它的斜率和這堆線都不一樣呢？
答案是可以的，因為有限條的線，把每條線的斜率記下來，會得出一堆數字（斜率）。現在這裡有一堆數字（而且數量只有有限多），我能不能找到一個數字不等於它們其中任何一個？
因為實數是無限多的，我當然一定能夠找到一個數字，它和那一堆數字中的每個數字都不相等。
找到這個數字，我就以這個數字作為斜率，建立一條線，這條線拿來平移，絕對不會一次通過兩個點，那麼在平移的過程中，一定到某個時刻會恰好「左側１００６個點，右側１００６個點」。
證完了。
還有一個，也是相關的證明。
看到這裡，如果你真的有認真看的話，不累還滿奇怪的。
（畢竟我這篇文章寫了好幾個月，才寫到這裡。而且描述很多腦中想法，如果沒有跟著想，根本就不知道在幹嘛。）
要不休息一下，之後再看吧。
接下來的問題是個很久以前注意到的事情。
高中時玩魔術方塊，發現到一件事──「如果照著一種固定循環的轉法一直轉一直轉，最後一定會變回原樣？」
當時試了很多種轉法，有些２４次就變回來了，有些則是１０００多次才回來。
不知道我在說什麼的，就跳過這段吧。
「固定循環的轉法」是指一連串轉的動作，然後不停重複這一連串。
那，這件事情是肯定的嗎？
不管用什麼樣的轉法，一直循環操作，最後一定會轉回來？
答案是肯定的。
先讓我用點較為高深（其實沒多高深）的數學來講這題，聽不懂沒關係。
首先建立一個群（group），裡面的元素是魔術方塊所有的「變換方式」。
（這樣的建立方式應該是滿足group的前提，我沒有詳細驗證。）
例如裡面可能有個元素a，意義是能夠使得原本是完成狀態的魔術方塊，白色那面順時針轉一圈。
那麼a^4就會變回單位元素（e）（因為順時針轉四次就會回來）。
（單位元素就是「和原本一樣」的意思）
好啦，那麼這麼群裡面的元素是有限的。
我只要證明一件事情就可以了。
是不是這個群裡面的任何元素，都會在重複運算多次之後，變回單位元素？
答案是會的，一個元素個數有限的群，裡面每個元素的order都有限。（order的意思是「重複運算『幾』次會變回e」，那個次數就是該元素的order）
好啦好啦，上面的只要聽得懂一點點就可以了。（因為我也沒講得很清楚）
現在來講講一般人可能聽得懂的講法。
現在，先隨便挑選一種轉轉轉的操作吧。
就是待會打算要一直重複操作的一連串動作。
那麼，這個動作是可以「倒轉」的。（一定可以）
原本怎麼轉，順序顛倒，順逆顛倒，操作一次就是倒轉了。
所以呢，如果這個操作正轉很多次之後會變回原本的，那麼倒轉也一樣會變回原本的。（就把「原本」當作是正轉到變回來之後，這樣倒轉同樣多次就會回去）
那現在，我一直做那個操作，一直做一直做。
因為魔術方塊可能轉出來的情況是有限的，所以我一直轉一直轉，一定會在某個時刻，發現到有種情況重複出現了。
（反證法，假如每經過一次操作出現的情況都不一樣，那麼會推得魔術方塊可能轉出來的情況有無限種，但這是錯誤的。）
意思是，可能我從原本六面完成的魔術方塊，轉了１００次後，變成一種情況，而轉了１０００次後，又變回這種情況（轉１００次的情況）。
這樣就簡單啦。
我把轉了１００次的魔術方塊情況，用那個操作「倒轉」１００次，就會變回原樣嘛。
那麼既然轉１０００次的情況和轉１００次的一樣，那麼我把轉１０００次的情況倒轉１００次，就會變回六面完成的情況啦。
意思就是，這種轉法，９００次就會變回原樣。
就這樣，證完了。
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