我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　最後大家看見的是「數論紛紛」的講義。

　　嗯……一開始不是這樣，我想說說一路以來的課程內容囉＝ˇ＝！

　　一開始，進入學術股後，就要負責專題課程。

　　究竟要上什麼呢？

　　我第一個浮上心頭的東西是，劃圈圈。

　　就是在附錄裡面留有資料的劃圈圈遊戲，一次劃１～３個，被劃過的地方不能跨越，可以斜劃不能從中間直線穿過，兩個人輪流，劃到最後一個的人就輸了。

　　我想請同學上台跟我玩，也讓同學在下面玩，然後分享一些我經由不斷窮舉所找出的遊戲技巧。

　　當時構想的主題方向是這樣。

　　從國小時接觸到的圈圈叉叉遊戲，進展到數１５的遊戲，接著是１３５７的劃圈圈遊戲，在之後再到金字塔型的劃圈圈遊戲。

　　還想加入許多自己玩過的邏輯遊戲，ＥＸ：數迴、數牆……
　　或者是可以訓練分析能力的猜數字遊戲。

　　不過這樣的上課內容，並沒有通過。

　　因為其實沒什麼學術性質ＸＤ。
　　全部的規則、分析，幾乎都是用不斷地歸納法嘗試出來的，就算有邏輯分析的部份，也非常不容易用言語表達出來，而且也有可能這樣思考的能力早已是大家有的，根本不需要特別上課講。

　　於是後來稍作更改。

　　第二次想講的主題是，猜數字。

　　嗯……就是猜數字，從講解規則，到讓大家玩，讓每個小隊彼此競賽，看哪個小隊在分析數字的能力上整體的平均水準是高的。
　　然後最後可以請小隊員們全部的人當成一隊，跟我比猜數字，贏我的話就加分。

　　玩完遊戲之後，我在藉由自己猜數字的思維過程，用言語表達出來，去做為教學。

　　後來也作罷。

　　原因是在試教的過程中，發現不少ＢＵＧ，還有場面會非常不容易控制（當然我想當時假設的這些情況，你們來的時候都沒有發生）。

　　還有深入地分析我國中時非常頻繁玩的邏輯遊戲－－「數迴」，不過我現在想想，這些遊戲，還是讓你們自己去享受吧＝ˇ＝！

　　所以第二次課程內容，也沒有通過。

　　我的課程進展是三個之中最慢的，從一開始試教，我就有很多次都因為尚未完成或還沒想到，所以沒有練習到。

　　第三次想到的課程是，類似演講的形式，我想分享自己一路在數學、邏輯、思考等領域上的經歷，還有高中時參加一些數學競賽的感受。
　　也想加入許多曾經因為數學而鬧出的有趣對白。

　　（ＥＸ：我曾經這麼問過高中數學老師，在他指派許多作業的時候。
　　「老師，這個作業那麼無聊，可不可以不要寫啊？」我問。
　　「這麼無聊的題目我還是寫在黑板上啦！」老師回答。
　　我還是不服氣，「可是老師你只無聊一題，我們寫作業要無聊很多題耶！」我帶點想硬凹的情緒。
　　老師開口，只用了一句話就折服我，他說：「你以為我每天上課不無聊嗎ＸＤ？」）

　　國小時對１乘以０的看法，國中時研究三角形周長與邊長組合數的經驗，跟電腦玩邏輯遊戲開兩個視窗玩陰險招數取勝……

　　接著講高三時參加全國數學能力學科競賽的經驗（就是北師大之旅那篇文章），還有決心去做一件事情的時候，因而得到的許多體會。



　　因為這樣的想法，我決定用自己曾經想過許久，覺得滿有趣的題目來作為主題的帶領。
　　原先的構想是節錄自己曾花很多時間想過的ＡＭＣ、ＴＲＭＬ、ＡＩＭＥ……等數學競賽的題目，不過後來那些題目都找不到，只找到了全國數學能力學科競賽的歷屆題目。

　　再把我自己想了很久之後，解出來的題目，列出來。

　　就是講義上的那些題目（除了第四題是曾達給我的）。

　　再次試教的時候，發覺自己，好難以講故事的方式呈現。

　　不過卻也沒關係，我發現自己很習慣性地丟出問題（試教的時候其實有些是自己也不知道下一步怎麼走才丟問題ＸＤＤ），我很希望能讓大家一起想想看，提出想法，或發現一些事物。

　　最後第三種形式，直接轉變為正式的課程，學長要我們為自己的課程想個主題。

　　此時忘了是哪位同學說：「這些題目都是數論的題目耶？」

　　我拿起自己的講義一看。

　　真的，都是數論的範圍。

　　那麼不可否認地，我的確對數論的題目，比較有興趣。
　　因為可以用嘗試的方式，去試圖找出規則，而且就算只是給條件，不給證明，一樣可以在嘗試的過程中發覺一些有趣的事情。
　　像在解ＡＩＭＥ的題目時，我就曾經花３０分鐘去找那串式子的規律，最後把可能是答案的數字給求了出來（即便我根本無法證明，ＡＩＭＥ只是要個答案，不需要證明）。

　　最後就是呈現給你們的囉！

　　第一題：

　　原本上課時教的證明。

　    


　　後來，我在搭公車去家教的時候，躺在椅子上，想到了另個證明。
　　這個證明是由曾達說把抽取順序記下來的想法開始，還有柏翔想到的牌死亡復活的觀點。
　　而且這個想法可以一直適用於延伸ＸＤＤ。

　　想法：
　　ｎ張牌，第ｎ號牌，只可能被抽到一次。
　　那麼ｎ－１號牌呢？當翻到ｎ－１號牌，操作完後它會到倒數第２張，意即除非翻到比ｎ－１還大的牌，不然不可能再次翻到ｎ－１，而比ｎ－１大的牌（就是ｎ）總共有可能被翻到幾次，ｎ－１就可以被翻到那個數字加１。
　　（換句話說，ｎ－１號牌最多被翻到２次。）

　　依此類推，ｎ－２號牌，比它大的牌最多被翻１＋２次，所以ｎ－２號牌最多可能被翻１＋２＋１次。

　　……

　　ｎ　　號牌最多被翻１次；
　　ｎ－１號牌最多被翻２次；
　　ｎ－２號牌最多被翻４次；
　　ｎ－３號牌最多被翻８次；
　　……

　　每一張牌最多可能被翻的次數全部加起來，等於1+2+4+8+……+2^n-1=2^n - 1

　　即意味著把抽取順序記下來，寫成一個數列，而這個數列最多也只會有2^n - 1項。
　　若抽取順序是有限的，表示操作停了下來，而操作僅有在１到牌頂時才會停止，故得證。



　　第二題：

 



　　第二題的證明寫法被曾達ＤＥＢＵＧ很多次ＸＤ，有關反證法的敘述句，它的逆敘述就完全與原本的句子相反嗎？

　　第三題：

    


　　這題的解法當年看到的時候覺得很扯，想說誰會想到可以這麼做呀？

　　第四題：

 

　　試教時學長們覺得題目數量不夠，曾達補充給我的，跟第三題用的是同樣的手法。

　　第五題：

　　這題的來源上課時我沒有提到（即使我教到了仍沒提到），這是在我參加彰師大高中數學人才培育計畫，培訓計畫結束時，教授們給我們考驗的題目之一，也有些有趣的成分在裡頭吧。

　　第六題：

 


　　就像我上面寫的，這題是某年台大數學系第二階段甄選的歷屆考題，自己一開始想的時候，想到６２跟６３時，還是花了些時間去思考這兩個數字之間的關連是什麼，怎麼樣才能推得這題的結論？



　　前面教給７、８小和４、５、６小的，是第一題還有五六題。

　　第三堂課，在前一天晚上舞會的時候，我就開始認真考慮改課程內容了。

　　有很多理由支持我改，像是柏翔把我的講義寫完啦，還有一些同學也自己解開了一些題目；學術遊戲大家都玩完了，移動金幣或者是Ｔｅｔｒｉｓ　Ｂａｔｔｌｅ的主題就可以拿出來討論了；舞會一直大聲地唱歌，隔天要是繼續地一直說很多話，感覺也不太好，為了這個我有想到一個不需要說話的遊戲ＸＤ。

　　但讓我能改得那麼心安理得，那麼爽快的理由還有兩個。

　　第一個是前一堂教授的課，他聊到了數學奧林匹亞，還有有關數學科展，以及手動去做的數學實驗。
　　手動去做，就恰好是移動金幣跟Ｔｅｔｒｉｓ　Ｂａｔｔｌｅ的核心呀！
　　即使後面可以推導出許多判定情況的規則，但重點仍然是，我們要不斷地嘗試，看能不能從中分析出什麼事物。

　　第二個是，同學們走進來後，有個同學提議：「欸，要不要我們就坐在旁邊，你就站在中間講課就好啦！」他當時或許帶點半開玩笑，不過我馬上就同意了，於是同學們就幫忙我搬桌子搬成環狀的，最後真的讓大家可以這樣上課。

　　也謝謝當時拿出自己撲克牌的同學，讓更多人能一同用手實際去嘗試＝ˇ＝！

　　有關移動金幣的思考模式，我最近又想到了更完整的說法，會在寫篇文章去解釋，而Ｔｅｔｒｉｓ　Ｂａｔｔｌｅ的則是若進行太過頭的邏輯分析，顯得很沒意義……
　　大家就好好玩遊戲就好囉～



　　這篇文章就寫到這了，有什麼事情想問的朋友也可以問囉～