我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　多年前寫過一篇同名的文章，直到真的在工作上編寫國中數學的教材時，才意識到那篇文章並不那麼適合一般的國中生，看著它很常被瀏覽，感覺也是該重新寫一個適合國中生的版本。

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　　你在國中初學正負數時，遇到正負數的乘法運算，在那裡會歸結出正負數相乘的法則：

　　正數乘以正數，結果會是正數（正正得正）

　　這是一篇很簡短的文章，核心目的是遊說／洗腦大家跟我有同樣的共識（？）。

　　在中文的講法下，「放大2倍」是偶爾會有爭議的講法，到底是變為原本的2倍，還是變為原本的3倍呢？

　　大多數時候是指變為原本的2倍，但一旦當有人使用「放大1倍」時，大家就會自動轉換為另一種邏輯了，認為此時是指放大為原本的2倍。

　　這是因為如果理解成原本的1倍，那就通常會是意義不明的描述，因為實際上並沒有放大。

　　在這個前提下，語言理解會自動將它解讀成原本的2倍的意思，即「增加1倍」的意思。

　　這篇文章會分成兩部分，第一部分介紹一下數學中，兩個集合中的元素個數相等的概念。

　　第一部分是寫給對數學有興趣的中學生閱讀的，如果能理解第一部分，就也可能可以稍微理解第二部分也很有意思的部分。

　　雖然我原本是只想寫第二部分的，但只寫第二部分可能讓這篇文章的受眾僅限於學習大學數學的人，補上第一部分這篇文章的受眾就是國中學生就有可能理解的程度了。（所以我的標題沒有寫哪個層級的數學，事實上我認為集合論入門的部分幾乎沒有數學程度的限制（？））

　　第二部分會介紹schroeder-bernstein定理的概念，即兩個集合之間存在１－１函數送至彼此，則兩集合中元素個數＂一樣多＂。

　　前一段時間看到有人提起了這個定理的證明，就在自己腦海中構思／回憶了一下，其實也是滿有意思的，雖然我一直以為這個證明是「構造性」的（後面會再提及何謂構造），在腦中一直想了想，總感覺好像構造不出來，最後回去翻書，才確認了只是我記錯ＸＤ，這個證明只是看起來像是構造性的，但實際上不一定能構造。

　　－－－－－２０２３／０８／２４更新－－－－－

　　看到以前有人發過的文章，想留回應但留不上去，轉貼到這裡，也可以當成我現在對這個問題的結論。

　　精確來說這個問題的核心不是解和根有沒有區別，而是「什麼是重根？」

　　留言：

　　老師您好，對於重根的說明我略有不同的看法。

　　無論在國內外，方程式的解和根的意義都是相同的－－「代入後可以使等式成立的數」。

　　－－－－－２０２０／０７／２９更新－－－－－

　　要參與這篇文章的討論，或看看其他涉入數學較深的人的觀點，可以到以下的FB社團數學愛好者裡參閱。

　　https://www.facebook.com/groups/204862582895831/permalink/3160612253987501/

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　　總之又是最近工作上遇到的情況，查了查還是想寫點文章（雖然就是整理加抒發一下）。

　　國小跟國中都有提過如何將算式去括號，而關於去括號法則的理由或說明，網路上（或者翻遍各種參考書）實在是沒有找到一個足夠好（嚴謹的、有道理的）答案。

　　這篇文章就來談談這件事。

　　首先大多數地方能找到的去括號法則如下（國中數學的講法）：

　　＋（ａ＋ｂ）＝ａ＋ｂ

　　＋（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ

　　首先先澄清一下標題，標題的意思並不是這樣做的結果會是錯的，而是指＂如果一個國中學生在考試或作業中這樣做，他可能會被打錯＂。

　　簡短說明一下問題背景，我在補習班做教材時做到尺規作圖的單元，現行國中數學的垂線作圖作法A如下：

　　題目：已知線段AB以及線外一點P，求利用尺規作圖，作線段AB過P點的垂線

　　作法：

　　步驟一，以P點為圓心，適當長度為半徑畫弧交線段AB於R、S兩點

　　聽聞到有人問這個問題，網路上一搜尋，跳出了一些持不同意見的文章，例如認為零非奇非偶的。

　　在這邊彙整一下網路上搜尋常見的討論串中的討論，並挑一些論證上的錯誤出來（嘆）。

　　我的意思是，我當然可以接受有人＂定義＂０非偶非奇，但當他試圖說服別人接受時，用的理由好歹要有道理吧。

　　我先說我對「0是偶數嗎？」的回答：

　　我的回答是「是」，0是偶數。

　　數字紙牌影印檔下載處：http://ddxu2.pixnet.net/blog/post/429982247

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　　遊戲名稱：排序Sorting

　　需求道具：

　　　　數字紙牌1~99，紙牌上需要有顏色（除非用其他物件來代替）

　　　　可以計時3分鐘的手機或沙漏

　　這篇文章是前一篇《大學的數學系在學什麼？（微積分）》的後續，由於其他科目我實在也沒有太深入的瞭解，所以這一系列一直沒繼續下去。

　　但確實每個科目我都有學到一些有趣的概念，這篇文章會將我在每個科目中接觸到，覺得很有趣的概念提出來，稍微解釋一下。

　　或許會對剛接觸這些科目的人有些許的幫助。

　　這篇相對來說不會那麼嚴謹，也不會提到太深的東西，多半是一些比喻。

　　〈線性代數〉

　　很久以前寫過一篇文章：小賭怡情，十八啦怎麼賺？

　　連結：http://ddxu2.pixnet.net/blog/post/205883771

　　裡面提到的加倍下注法，是國高中時讀的一本數學科普書中寫的。

　　簡單地說，假設下注的價碼可以自己決定，輸了就輸掉下注的錢，贏了除了拿回下注的錢以外，還會多得到相當於下注金額的錢。

　　所以加倍下注法的策略就是，一但輸了，下次下注就加倍，如果又輸了，就繼續加倍，直到贏一次為止。

　　２０２３／１２／２５更新：

　　我重寫了一篇文章談論這個概念，期望會更適合國中學生閱讀。

　　請見：〈為什麼負負得正？（國中數學）〉

　　（因為目前這篇文章裡其實談到了一些大學數學的觀念，可能對國中生來說會增加一些困擾。）

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　　負負得正似乎是一個思考上的門檻，這裡提供一些觀點。

　　話說在前頭，這篇文章對你怎麼找因數倍數、怎樣快速地計算短除法，最大公因數跟最小公倍數怎麼算，都沒什麼關係。

　　純粹是在孩子問我什麼是因數時，想到很美的一種比喻。

　　我們知道因數跟倍數有互相對應的關係，也大概能從「因數分解」裡看見「分解」兩個字，所以因數應該跟「分解」有關係，所以是什麼關係？

　　給一個中文字－－「想」，這個字有什麼樣的性質？

　　這篇文章想講講，關於「負整數」。

　　在講負整數之前，當然要先提提「正整數」（又稱作「自然數」）囉！

　　正整數就是「１，２，３，４，５……一直延續下去」，這些數字都是正整數。

　　寫文章的理由往往非理性，教學上遇到瓶頸，但越是覺得匱乏，就越要把自己有的給予出去。

　　可以下載自製的數字紙牌的文章連結：http://ddxu2.pixnet.net/blog/post/429982247

　　（以這個遊戲來說，用只有純數字的紙牌玩也沒太多差別，只是沒那麼繽紛）

　　遊戲名稱：猜數字

　　讀者可以視自己的能力跟興趣決定讀哪裡、跳過哪裡。

　　這篇文章主要的對象是「有一般閱讀能力的國小、國中學生」，以及對數學的思維有點興趣的任何人。

　　從一個故事開始吧：

　　一個物理學家跟數學家有什麼差別呢？

　　數字紙牌的檔案請到這篇文章裡的連結下載：
http://ddxu2.pixnet.net/blog/post/429982247

　　這篇文章會介紹數字紙牌上印的顏色的意義（其實很顯然），除了簡短介紹檔案裡寫過的玩法外，也有自己後來又想到的玩法。

　　２０２２／０５／３０　更新

　　純粹更新檔案連結，之前的好像共用失效了。

　　２０１７／０９／１２　更新

　　檔案裡新增兩樣東西，一是數字紙牌的牌背，沒錯現在有牌背可以印了，牌背上的ｕｎｉｑｕｅ是《獨一無二》的英文名稱（假如要我給這個遊戲英文名稱的翻譯的話）。

　　第二個檔案是純文字件，簡短說明如何使用這份檔案，以及影印數字紙牌的方式。

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　　２０１７／０９／２７　更新

　　這篇文章的續篇連結：《大學的數學系在學什麼？（其他科目）》

　　能力所不及，續篇並沒有辦法像這篇一樣講得這麼完整，內容改為提出一些我學到覺得很有趣的觀點。

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　　這篇文章寫了很久。（其實是拖了很久）（不過拖了很久的文章也不算少數）

　　不過也是因為拖了很久，才有這麼多東西可以寫。
　　剛好三個東西，都跟「有限」有關係。