我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　讀者可以視自己的能力跟興趣決定讀哪裡、跳過哪裡。

　　這篇文章主要的對象是「有一般閱讀能力的國小、國中學生」，以及對數學的思維有點興趣的任何人。

　　從一個故事開始吧：

　　一個物理學家跟數學家有什麼差別呢？

　　有人出了一道問題給他們兩個：「有個空的熱水壺，跟一個瓦斯爐，要怎麼燒開水呢？」

　　他們兩個回答一樣：「把熱水壺裡裝好水，放上瓦斯爐，點火，就燒開了。」

　　那人又問了：「如果今天給你裝了水了熱水壺，跟瓦斯爐，那要怎麼燒開水呢？」

　　物理學家答道：「直接放上瓦斯爐，點火就燒開啦！」

　　數學家不予苟同：「不不不，我先把熱水壺裡的水倒掉，如此一來問題就變成我們已知如何解的問題了！」

　　這個故事當然是在譏諷學習數學的人，對於這種解決問題的「技巧」過度地偏執。

　　但確實，這就是我們做數學時常用的技巧，我們觀察、歸納，得出簡單形式的問題的答案；

　　然後－－「把水倒掉」，將複雜的問題還原成我們已知的形式

　　當然這種還原的步驟，也往往不像「把水倒掉」那麼容易就是了……

　　這篇文章接下來會概略地談國小中各種運用到這個技巧的地方。

　　多邊形的面積

　　一個矩形（長方形、正方形）的面積怎麼算是我們已知的，就是長乘以寬。

　　那平行四邊形的面積怎麼算呢？

　　我們將下圖左邊紅色的部份切下來，拼到右邊去，蹦的一聲！就變成綠色的長方形了。

　　所以原本平行四邊形的面積＝綠色長方形的面積，變成我們會算的東西了，是長方形的長乘以寬

　　那長方形的長＝平行四邊形的「底」；而長方形的寬＝平行四邊形的「高」

　　所以平行四邊形的面積＝長方形的長乘以寬＝平行四邊形的底乘以高

　　那三角形的面積呢？

　　我們用一個完全一樣的三角形，旋轉１８０度，然後跟原本的三角形貼合在虛線處。

　　蹦的一聲，變成了一個平行四邊形，是我們會算的東西。

　　所以三角形的面積＝合成出來的平行四邊形面積的一半

　　而平行四邊形的面積＝平行四邊形的底乘以高

　　平行四邊形的底＝三角形的底；平行四邊形的高＝三角形的高

　　所以三角形的面積＝合成出來的平行四邊形的底乘以高除以２＝三角形的底乘以高除以２

　　梯形的面積呢？

　　和三角形類似，我們用一個完全一樣的梯形，旋轉１８０度後拼在一起。

　　蹦的一聲，又變成了一個平行四邊形（我們已知的東西）。

　　所以梯形的面積＝合成出來的平行四邊形的面積的一半

　　而平行四邊形的底＝梯形的上底＋下底；平行四邊形的高＝梯形的高

　　所以梯形的面積＝合成出來的平行四邊形的底乘高除以２＝（梯形的上底＋下底）乘以高除以２

　　任意的多邊形的面積要怎麼算？

　　這次可不會跟你說拼在一起又變成一個平行四邊形了，現在要怎麼「把水倒掉」呢？

　　我們計算圖形的面積時，如果題目沒有給長度的話，我們就要自己用尺量圖形的長度，例如量三角形的底跟高，再去計算面積。

　　這裡如果給你一把尺，你能大概地量出答案嗎？要怎麼做？

　　給點提示：

　　要公布解答啦（好快），你只要加上好幾條線，把多邊形切割成好幾個三角形（我們已知的東西）

　　多邊形的面積＝切割出來的每個三角形的面積相加

　　而每個三角形的面積你都可以用尺量出底跟高，你都可以算得出來。

　　算出每個三角形的面積後，再全部加在一起，就是答案了。

　　跳離多邊形，那圓形的面積要怎麼算？

　　首先呢，圓形並不是多邊形，但如果你硬要說它是多邊形的話，或許它可以是０邊形（因為沒有邊）；

　　也可以說它是無窮多邊形，為什麼呢？你只要在它裡面畫上內接的正多邊形就會懂了。

　　當內接的正多邊形邊數越來越多，每個邊越來越短，「這個正多邊形看起來就越來越像是圓形」

　　當邊數趨近無窮多時，這個無窮多邊形就跟圓形一樣了。

　　這個視覺上的直觀也可以應用在「畫圖」上面。用很多條直線趨近曲線。

　　當你需要畫一條彎曲的線，而你手畫曲線的技巧不夠好，你可以用好多條直線去描繪那條曲線。

　　例如：一隻眼睛的外框

　　然後再用橡皮擦把直線不要的部分擦掉。

　　一個看起來很有弧度的眼睛就出現了。

　　回到圓，要用圓規畫出一個圓，會需要這個圓的「半徑」，想必畫出來的圓面積應該也跟半徑的大小有關係，問題是關係是什麼？

　　我們用內接正多邊形去趨近圓看看，畢竟正多邊形的面積我們會算。

　　上面做了一個圓內接正六邊形，我們可以將頂點與圓心相連，得出六個相同的三角形。

　　所以我們只需要計算一個三角形的面積，然後乘以６，就可以得到這個正六邊形的面積，而它稍微比圓的面積小一些。

　　可是這個三角形的底跟高是什麼東西？用尺量當然也是可以，但待會越做越多邊的時候，很難用尺量吧。

　　上圖是內接正八邊形，綠色是一個三角形的底，藍色是它的高。

　　上圖是內接正１６邊形，看出什麼了嗎？

　　綠色的底，它的長度越來越靠近等分的圓周長（１／１６的圓周長）；

　　而藍色的高，長度越來越靠近這個圓的半徑。

　　而這個多邊形的面積＝每個三角形的面積相加，而因為每個三角形的高都一樣

　　所以這個多邊形的面積＝（所有三角形的底相加）乘以（高）除以２

　　上面這個式子不管是內接多少邊形，都適用。

　　所以當越來越多邊時，「所有三角形的底相加」會趨近圓周長；而「高」會趨近圓的半徑。

　　所以當趨近內接正無窮多邊形時，上面的式子會告訴我們：

　　圓的面積（內接正無窮多邊形的面積）＝（所有三角形的底相加）乘以（高）除以２

　　＝（圓周長）乘以（半徑）除以２

　　半徑我們知道（當初畫圓的時候就知道了），那「圓周長」呢？

　　很難算，圓周長就沒有辦法像上面寫的那些東西，可以經過概念上的變換得出答案了。

　　要計算圓周長，可以用的一種方法是計算內接正多邊形的周長去趨近，而這是一個艱困的任務。

　　多邊形談到這裡，在我們知道怎麼計算三角形的面積以後，所有的多邊形面積我們都可以算了，所以基本上數學家比較少研究多邊形，因為關於多邊形的許多問題都可以把水倒掉，變成三角形的問題去解，相對來說研究三角形的性質重要許多。

　　數字的四則運算

　　從小學的數學開始，一路到國中、高中，甚至到大學的數學，有一件事情是不斷地重複出現的：

　　「數系的延展」

　　什麼意思呢？目前數學教育關於「數字」的部份：

　　小學一年級會學到「原始人就大概知道的計數方式」，也就是從「１，２，３」開始；

　　中年級以後會學到「隨著文明而起知道的數字」，也就是可以到１００、１０００以後，也會學到「分數」、「小數」；

　　高年級就會繼續把數字越變越大，然後也會學習「分數」、「小數」的四則運算方式；

　　國中一年級後會學習「負數」、「無理數」；

　　（在此略過這件事：高中會學到「複數」）

　　數系的延展這件事情不斷地重複出現，每擴展一些數系，就會再教它的運算方式，然後再做運算。

　　但總歸地說，它們都是「數」，把數線畫出來，一條無窮沿伸的直線，所有的數字都可以在上面對應到一個點，表示「原點到該點的線段長度（方向決定正負）」

　　而它們用的加減乘除都是一樣的，意思都是一樣的，為什麼面對新的數系時會不知道怎麼做，只是因為我們不熟悉。

　　我們學了新的數字的運算規則，例如除以一個分數等於乘以它的倒數，但面對應用問題時，例如：

　　「小明跑步每1.5秒可以跑3又1/2公尺，若小明的速率維持不變，請問他4.3分鐘可以跑幾公尺？」

　　面對這樣的問題，腦筋就一片空白，對這些數字毫無感覺，根本不知道他們是什麼東西，我要怎麼樣才能算出我要的答案？

　　「把水倒掉」

　　它們不過也就是數字而已，只要我能把式子寫出來，然後我知道運算的規則的話，我就能算出答案。

　　要想辦法理解它的意思是什麼也可以，要怎麼樣從1.5秒的距離換算回1秒的距離？要怎麼從1秒的距離推算4.3分鐘的距離？

　　但想清楚了、想透徹了，想了很多次以後，就會發現－－「其實算式就跟數字是整數的時候一樣」

　　現在把水倒掉，我們把數字換成整數，看看式子要怎麼列：

　　「小明跑步每３秒可以跑５公尺，若小明的速率維持不變，請問他４分鐘可以跑幾公尺？」

　　一秒跑多遠？一眼看出來是５÷３公尺

　　４分鐘距離怎麼算？（５÷３）ｘ４ｘ６０

　　把式子裡的數字換回原本的：

　　一秒跑多遠？

　　4.3分鐘距離怎麼算？

　　把數字都換成同樣是分數或小數，再做計算，總之就只是計算上的問題而已了。

　　原本的問題不知道怎麼解，不知道怎麼列式子，「把水倒掉」，變成整數（你已知怎麼算的東西）。

　　用你對整數的直覺去寫算式，寫完後數字換回去，就能計算出你要的答案了。

　　等量公理與設未知數

　　等量公理是個直覺上很容易明白的事情，原本有一個等式，例如５＋ｘ＝８

　　等式的意思是「左邊跟右邊的值是相等的」，等量公理是說，你對左右兩邊一同做加減乘除一個數，等式依然會成立。

　　（但除法只能同除不是０的數）

　　白話一點地講，兩個原本一樣的東西，你對他們做一樣的事情，結果它們還是一樣的。

　　以上面那個等式來說，你可以左右兩邊一同減去５，就會得到：

　　ｘ＝８－５，就會得出ｘ＝３

　　以國小數學的角度來看，這件事情是很有啟發的。

　　國小的問題往往都是線性的，從算式的一開始，寫寫寫，等於什麼等於什麼，一直往下寫，最後等號得出的東西，就是答案。

　　為了這個線性的解題思維，加法是一回事，減法是另一回事；乘法是一回事，除法是另一回事，即使它們是對應的關係。

　　同樣地，一個面積公式三角形的面積＝底乘高除以２，為了這個線性的思路，１個公式就變成了３個公式：

　　底乘高除以２＝三角形面積

　　三角形面積乘以２除以底＝高

　　三角形面積乘以２除以高＝底

　　但其實三個式子都在講同一件事情，都是一樣的，表達出了三角形的底跟高跟面積的關連。

　　在此之前，「等號」對於學生而言，可能比較偏向「結果」的意思。

　　經過一連串的結果、結果、結果，最後等於出來的結果就是「答案」。

　　但接受了「未知數」，並用它來列式子以後，忽然間，我們要求的答案不再是最後一個等號之後的東西了，而是活生生的在式子裡面，它可以讓這個等式成立。要怎麼找出它是多少呢？難道要一個數字一個數字慢慢帶進去嘗試嗎？

　　「等量公理」可以幫我們把水倒掉。

　　概念很簡單，式子列出來以後，想辦法把未知數移到其中一邊，並且把其他部份用等量公理移到另外一邊去。

　　例如：

　　（ｙ－５）＊３＝ｙ，求ｙ＝？

　　可以把左邊先乘開，得到３＊ｙ－１５＝ｙ

　　兩邊一同減去ｙ，得到２＊ｙ－１５＝０

　　兩邊一同加１５，得到２＊ｙ＝１５

　　兩邊一同除以２，得到ｙ＝１５÷２

　　於是問題就回到我們知道怎麼解的問題了，這是一個線性的算式，算出１５÷２＝？即可。

　　當然就實際層面來說，這件事情並不總是那麼容易，就算事實上很容易，也不一定很容易想到（有時候真的是靈光乍現）。

　　結語

　　「把未知的問題變成已知的問題」這種技巧，其實在現實中我們是不斷地使用（但不一定有自覺）。

　　要到一個地方，我們會先查鄰近的火車站（我們會搭火車），從那裡要怎麼搭公車（我們會搭公車）過去；

　　或是自己開車去，我們會查一下附近有沒有自己去過的地標（我們知道怎麼去），從那裡怎麼到目的地。

　　要怎麼把車子停進停車格？如果你注意到一件事實－－「車子可以怎麼出來，就可以怎麼逆著回去」，停車的方法就是想想看自己會怎麼出來，然後到對應出來的位置，把「出來的時候會怎麼轉方向盤」這件事情逆著操作一次，就可以停進去了。（理論上啦，這個理論應該也有助於學習倒車入庫）

　　概念都是把水倒掉，困難的地方是「要怎麼把水倒掉？」

　　多邊形裡我們用了各種不同的切割、組合方式，這些想法都不是一看到就跳出來了。

　　例如三角形的面積，當時的人們可能嘗試了很久，發現「面積竟然跟底和高有這樣的關係耶？」，甚至可能已經相信關係是這樣，但過了很久很久以後才知道為什麼（才找到證明的方式）；圓周長、圓面積也是。

　　很多「東西與東西之間的關係」都是在一些嘗試下，發現了一些結果，「好像是這樣耶？為什麼呀？」

　　而我們現在卻是直接地學了人類千年來知識的結晶，好處是我們不用在觀察、研究好幾年才懂、才確信。

　　壞處是，我們失去了自己探索樸實平淡東西的機會。

　　學校花費大量的時間教給我們知識、設法讓我們確信（有些教育方式連確信也不管）。

　　但我們卻沒有一點「感覺」，那種要自己嘗試過、思索過才會有的「感覺」。

　　那些可以嘗試的東西，幾乎都留在了益智遊戲、邏輯問題裡，某方面或許該慶幸，還好它乍看之下跟現實沒什麼關係。