我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　字數真的太多了，以至於這部份要分兩篇發。



12. 坐標空間中，考慮球面S : (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 =14與A(1,0,0)、B(-1,0,0)兩點。
請問下列哪些選項是正確的？
(1) 原點在 球面S 上
(2) A 點在 球面S 之外部
(3) 線段AB 與 球面S 相交
(4) A 點為 直線AB 上距離球心最近的點
(5) 球面S 和 xy , yz , xz 平面分別截出的三個圓中，以與 xy 平面所截的圓面積為最大

　　備註：

　《從前面看到現在的朋友，我極端佩服你的毅力。
　　因為我寫這份解答花的時間，是完成這份考卷時間的６、７倍之多。
　　大多數時間花在打字。
　　這些想法，畫的那些圖形，幾乎都是幾秒鐘之內就在腦中閃過，要寫成文字是頗不容易。
　　我盡量讓這些想法是可以很容易閱讀的，而且在敘述之中多次強調同樣的概念。

　　會很快地浮現這些想法的背後，必然有個根源的判斷機制，對於一件事物的看法，在獲得所知的
材料，以及需要去求出的結果，在腦中浮現一條合理的路徑。
　　數學幾乎是所有學科中，最有可能掌握到其根本架構的學科。
　　因為其他的事物，背後的根源都可能非常複雜，同個狀況可能有很多解釋，眾多解釋出來之後還
可能互相矛盾。《當然兩個矛盾的解釋背後可能有其根源，只是還有很多狀況是我們不了解的》

　　數學則否，即使一個論述有很多種說法可以證得，但不會這個說法得到這個結論，另個說法又得
到令個結論。《這句話請讓我忽略掉數學中的悖論吧，至少我所知的大多數數學是如此。》

　　這題待會的想法，對我而言是個很習慣的思考方式，在寫題目的時候我並沒有詳加去思考為何可
以這麼做的理由，因為它和其他數學中概念有類似的模樣，會讓人很容易聯想，它也具有類似的性質。

　　不過說真的，人生比數學難多了。在人生這條路上，不需要太相信大多數人的說法，畢竟人，是
最複雜的。》

　　第一個選項，它問原點在　球面S 上嗎？
　　怎麼樣才可以說一個點才 球面S 上呢？
　　所謂的 球面S ，是指在三維空間中滿足後面的那個方程式的所有點的集合所構成的圖形。《也可
以說是所有使該方程式等式成立的點 (x,y,z) ，把這些滿足這個條件的點在空間坐標中點出來，所描
繪出的圖形》

　　那意思就是，如果我把一個點帶進去這個方程式中，使得其等式成立，那就表示這個點在這個圖形上。
　　《也可以說，「這個圖形包含這個點」；「這個圖形通過這個點」；「這個點是這個方程式的一
個解」……等，都是同個意思。》

　　那我把原點座標(0,0,0)帶進去，發現等式成立，所以第一個選項是對的。

　　再說個另種想法，這個 球面S 其實是個半徑為根號 14 ，圓心為(1,2,3)的球面。
　　那這個球面包含了所有與圓心距離為半徑長度的點，現在的問題是，原點和圓心的距離是根號
 14 嗎？
　　點到點的距離可以算出來《如果你有發現的話，這就像是 球面S 的方程式描述的》，的確是
根號 14 ，所以原點在 球面S 上。

　　第二個選項，就是我剛才備註想講的那個概念了。
　　先把 球面S 的方程式移項，寫成(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 - 14 = 0
　　接著有趣的地方來了。
　　我不要管右邊等於 0 的地方，把左邊當作一個函數，帶進給定的點 (x,y,z)，就會得出一個值。
　　《具體寫出來就是 f(x,y,z) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 - 14 》
　　當然，我如果帶 球面S 上的點進去，得出來的值會是 0 ，例如帶上個選項的原點進去，
 f(0,0,0) = (0-1)^2 + (0-2)^2 + (0-3)^2 -14 = 14 - 14 = 0 ，但如果我帶其他的點呢？
　　如果我帶這個 球面S 的圓心 (1,2,3) 進去會得出多少呢？會得到 -14
　　那如果帶一個圓外的點，舉個誇張點的例子，我帶 (1001,2,3)這個點進去，結果會得到 10^6

　　推測出現在的情況是這樣。《不是每次都會是這樣，推測之前你要稍作一些判斷》
　　「球面是一個分界點，在球面上的點帶進去會得到 0 ，在球裡面的點帶進去會得到負數，在球面
之外的點帶進去，會得到正數。」
　　《當然這個論述的背後是有理由依據的，只是我寫這份試題的時候沒想太多。》

　　如果你有想起些什麼，這個東西和「在平面上判斷一個點在一條線的哪一側」很像。
　　舉簡單的例子來說，我想知道(3,7)這個點在 x 軸的上面還是下面，我就把它帶入 g(x,y) = y
裡，如果結果出來是正的，就表示它在 x 軸之上，如果是負的，就表示它在 x 軸之下。《當然這個
例子是太簡單了》

　　對於空間中的球面或其他幾何圖形，也會有這樣類似的模式。
　　《希望這個概念是可以被你接受的，至於它在球面情況下背後的理由，你可以自己想想看囉～》

　　現在一切就很明白了，我把 A 點座標帶進去，得到 -1 ，是負的，表示 A 點在此球的內部。
　　所以第二個選項是錯的。

　　第三個選項，線段AB 和 球面S 有相交嗎？
　　把 B 點座標帶進去剛才的函數中，得到正值，表示 B 點在此球的外部。

　　現在 A,B 兩個點，一個點在內部，一個點在外部，兩點連線，必然會通過 球面S
　　《其實這和勘根定理很像，多項式f(x)帶入值 f(a) > 0 , f(b) < 0 ，則在(a,b)區間內的圖形
，必然有與 x 軸的交點，意思就是，在這個區間內 f(x) = 0 有解。
　　《 f(x) = 0 有解的意思就是找得到一個 k 帶進去，使得 f(k) = 0 ，這也相當於令 y = f(x)
，把這個多項式畫在座標平面上，畫出來的圖形若與 x 軸有交點，就表示它有解。》》

　　這也可以用到其他情況，如果平面上有兩個點在一條線的兩側，那麼把這兩個點連在一起，必然
會通過這條線。《希望說這麼多可以讓你較為直觀地理解這個概念》

　　所以第三個選項是對的。

　　第四個選項，它已經從問 線段AB 轉為 「直線」AB 《線段就兩點相連那麼長，而直線是不斷延
伸的哦～》
　　有很多方法可以解出這題。
　　最簡單的一種是，想像一下這個球面，以及 A 點的位置以及 AB直線 是哪條直線，就能看出
 AB 直線其實就是 x 軸， A 點就是與球心相連後的線會恰好與 x 軸垂直的點。

　　欸，AB 線上的點，與球心相連後與 AB 直線垂直，就表示這個點是 AB 線上離球心最近的點？
　　為什麼呢？
　　舉例來說，用平面上的 點P 與 直線L 來看， 直線L 上哪一點離 點P 最近呢？
　　就我們了解的，那個點是「做一條過 P 點且與 直線L 垂直的直線，這條直線與與 L 的交點」。

　　試想，如果 L 上有其他點離 P 點更近，就說它是 點G 好了，而剛才做垂線與 L 的交點用 點R
來表示。
　　那把 PGR 三點兩兩相連，會得出一個直角三角形。
　　PG是斜邊，它必然大於直角三角形中的其他邊，意思是 PG 必然大於 PR 。
　　那就矛盾了，因為這表示 R 點到 P點的距離還是比 G點到 P點的距離短。
　　於是推得， L 上沒有其他點到 P 點的距離會比 R 點到 P 點的距離更短了。

　　這就解釋了 AB 直線上與球心距離最近的點，就是會使得「該點與球心相連的直線會與 AB 直線
垂直」的點。

　　而這個選項也有其他的解法。
　　因為有了直線，就可以寫出這條直線的參數式，然後把這個參數式與球心計算距離，藉由配方法
的方式找出極小值。《我沒真的這麼做，不過這是一個可行的作法，而且可以適用於其他情況，再者
這個做法並不需要了解上面講的垂直的觀念》

　　或者也可以這麼做，用球心座標 (1,2,3) ，來對這條線做通過球心的垂線，然後解出兩線的交點。

　　第五個選項，請問一個球，怎麼樣切它，切口的圓形面積會最大呢？
　　如果在邊邊的地方切，那會切出一個半徑很小的圓形。
　　切下去的平面越靠近圓心，切出來的圓形半徑就越大。《相信你可以想像》　　

　　意思就是，距離球心越近的平面，與此球面的交點所交出的圓，的半徑越大。
　　《當然你也可以不理會我，把那三個平面方程式寫出來，與 球面S 解聯立，求交點，得出圓方
程式，再觀察其半徑，這也是可以的做法。只是對我來說很累。》

　　那哪個平面離球心最近，用你的想像力想想看吧。

13. 設 f(x) = x(x - 1)(x + 1)，請問下列哪些選項是正確的？
(1) f(1 / 根號2 ) > 0
(2) f(x) = 2 有整數解
(3) f(x) = x^2 +1 有實數解
(4) f(x) = x 有不等於零的有理數解
(5) 若f(a) = 2，則f(-a) = 2

　　備註：
　《這題我用的是個我很喜歡的概念《上題有稍微用到》。
　　是我在高三那年接觸到的，我和一位讀女中的朋友借她們的模擬考題以及詳解。
　　才特別發現到，原來「方程式有實數解」與「左右兩式在實數坐標平面上的兩個圖形有交點」是同義。

　　就像剛才提過的，「函數 f(x) = 0 有解」可以相同於「y = f(x) 與 y = 0 在座標平面的兩個
圖形有交點」。

　　為什麼呢？

　　用稍微複雜點的例子來看，函數 f(x) = 1 有沒有解，可以想成 y = f(x) 和 y = 1 兩圖形有
沒有交點。
　　有交點的意思是，我找到一個 (a,b) ，使得帶進去兩式後，等式皆成立。
　　意思就是， b = f(a) ，以及 b = 1 ，那這就表示 f(a) = b = 1 啊！意思就是我找到一個解
了。

　　其他複雜的求解問題也是類似思維，給兩個函數 f(x), g(x) ， f(x) = g(x) 有沒有解，就相
當於 y = f(x) 與 y = g(x) 在座標平面上有沒有交點。如果找到了交點 (a,b) ，帶進去就會得到
 b = f(a) = g(a)，那 a 就是這個式子的一個解了。

　　希望這個概念也能讓你了解，因為真的滿有趣的XD》

　　第一個選項，稍微判斷把(1 / 根號2 )帶進去 x 值的情況，因為 (1 / 根號2 ) 是一個比 1 小
的數字， x 是正的， x - 1 是負的， x + 1 是正的，三個乘起來結果是負的。
　　所以第一個選項錯。
　　《其實也可以用畫圖的方式來判斷正負，三次多項式且首項係數為正的圖形，就像鍵盤上的
「～」兩端延伸出去，而與 x 軸的交點是 -1 , 0 , 1 》

　　第二個選項， f(x) = 2 有整數解嗎？
　　意思是，有沒有一個整數 a ，帶進這個函數使得 f(a) = 2 ？

　　當帶的數字超過 2 之後，很明顯就不可能了，因為 x , x-1 , x+1 這三個數字，在 x 是整數的
情況下，三個數字都是整數，而整數的值越乘不可能會越小《我是指絕對值，不考慮正負號》，所以
大於 2 或小於 -2 的整數都不用考慮了，因為第一項 x 的值就超過 2 了。

　　接著只要很快地把 -2 , -1 , 0 , 1 , 2 這些整數帶進去檢驗一下，看會不會等於 2 ，如果不
會的話，就表示 f(x) = 2 沒有整數解。

　　這樣的想法會太投機取巧嗎？我覺得不，即使這題有其他更具數學概念的解法，不過我覺得能夠
做些簡單的判斷亦是很重要的。

　　《補充一下另種想法，因為 x , x-1 , x+1 都是整數，而且三個數字都不一樣，那我把 2 給分
成三個相異的整數相乘，只有 -1 , -2 , 1 這組解。
　　　而很明顯是不可能找到一個 x 使得 x , x-1 , x+1 是那三個數字的》

　　第三個選項，f(x) = x^2 + 1 有實數解嗎？
　　是可以用到把求解轉換為求交點的方式了。
　　現在請你把 y = f(x) 的圖形大略畫出，也把 y = x^2 + 1 的圖形大略畫出《 y = x^2 + 1 是
一條拋物線，頂點在 (0,1) 且由兩側向上延伸。》

　　如果你畫不出這兩個圖形，那……就放棄這個選項吧。
　　不然也可以試試看 x(x - 1)(x + 1) - ( x^2 + 1 ) = 0 這個一元三次方程式有沒有實數解。
　　《我寫到這裡笑了出來，嗯……「把求解轉換為求交點」仍然是有趣且有效的概念，不過看來這
個選項不需要用到這個概念，因為一個一元三次方程式必然有至少有一個實數解……》

　　好吧，雖然這個選項已經解出來了，不過我仍然想講圖形上是如何找出交點的。

　　假如 y = x^2 + 1 在 -1 < x < 0 的那塊 y = f(x) 凸起來的地方就相交了，那就有交點了。
　　不過似乎不是如此，就算真的不是如此好了，我仍然可以證明， y = x^2 + 1 與 y = f(x) 在其
他地方有交點。

　　為何我這麼說呢？

　　當 x 大於 1 之後， x 的值越大， f(x) 的值也會越大《意思就是其圖形在越往右邊看的時候，
那條線會往上延伸》，而 y = x^2 + 1 也是如此。
　　兩個都會往上延伸，在 x 比較小的情況下，y = x^2 + 1 的 y 值會比 y = f(x) 的 y 值還大
《意思是在 x 值比較小的時候， y = x^2 + 1 的圖形是在 y = f(x) 之上的。》

　　可是啊， y = f(x) 是一個一元三次多項式的函數圖形，y = x^2 + 1 只是二次方。
　　這意味著，隨著 x 的增加， f(x) 的值，會上升的比 x^2 + 1 還快，這就表示，在 x 很大很
大的時候 f(x) 一定比 x^2 + 1 還大。《因為它上升的速度比較快，最後總是會穿過去囉，就像一
個人跑得比你快，就算他一開始落後你一段很長的距離，只要給他足夠的時間，他就一定會追過你。》

　　既然它會穿過去，就表示 y = f(x) 與 y = x^2 + 1 的兩個圖形有交點囉，就在它穿過去的那個地方。

　　於是就知道了 f(x) = x^2 + 1 有實數解。

　　第四個選項， f(x) = x 當x≠0 的情況下，會有「有理數」解嗎？　　
　　《有理數就是可以寫成分數的數字，像 2/5 是有理數，而 根號2 不是有理數。》

　　假如有的話，會怎麼樣？

　　《我又要用一種很常用的方法，數學上稱之為反證法，假設一件事情成立，然後若因此造成了
矛盾，那就表示原本的假設是錯誤的。
　　題外話，在現實生活中我們倒是常幻想一些不甚可能發生的事情，然後就一直想一直想下去，
就以為它是很真實的，而其實只是一個會造成矛盾的假設。

　　舉個現實的例子，我小時候會害怕一件事情－－「走過載滿瓦斯桶的卡車」。
　　因為我會擔心：「萬一我走過去的時候它爆炸了怎麼辦？」
　　過了幾個月後我仔細想想，「瓦斯桶有這麼容易爆炸嗎？」，然後再想，「假設它很容易爆炸
好了，那我們應該會經常看到新聞上播報『裝瓦斯桶的卡車又再度爆炸了……』，可是我從沒看過
這樣的新聞出現，所以這就表示，這個假設錯了，瓦斯桶爆炸的機率其實是很低的。」之後我就不特
別害怕了XDD。》

　　假如有一個非零的有理數 a ，會使得 f(a) = a ，那會怎麼樣呢？
　　就表示 a(a - 1)(a + 1) = a ，而因為 a 不是零，所以可以兩邊同時除以 a ，
得到(a - 1)(a + 1) = 1 ，乘開之後是一個一元二次方程式 a^2 = 2 ，這個方程式的解是
「正負根號 2 」，意思就是「 a = 正負根號 2 」，那這就與我們先前假設 a 是一個非零
的「有理數」矛盾了。
　　《因為正負根號 2 都不是有理數》

　　這就表示，根本沒有一個非零的有理數，可以使得 f(x) = x 等式成立。
　　意思就是 f(x) = x 沒有有理數解了。

　　第五個選項，若 f(a) = 2 ， f(-a) 亦會等於 2 嗎？

　　這關係到 y = f(x) 這個函數圖形是不是對 y 軸對稱的。
　　舉例來說， y = x^2 就是一個對 y 軸對稱的圖形， y = x^2 = (-x)^2 ， x 值的正負並不
影響 y 值的結果。

　　而 y = f(x) 的圖形是對 y 軸對稱的嗎？如果你把圖形畫出來了，將會發現，這個圖形對
「原點」呈現「點對稱」，但它並非對 y 軸左右對稱的圖形，更精確地看，如果 f(a) = 2 ，
那麼 f(-a) 應該會等於 -2 ，這種可以把負號提出來的性質《我的意思是 f(-x) = - f(x)》，
或許就是點對稱的特性。《因為我也沒證明，只是目前有這樣的感覺，所以不敢說得太絕對》