我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

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　　這篇文章是為了尋找教數學（或者分享、引起興趣）的機會而寫的。

　　底下行文中用的「你」沒有特定指你，如果敘述讓你想起了哪個認識的人，會對這些事物感興趣，期待你以朋友的身分分享給他／她。

　　［國小］平均
　　你是否曾這樣想過，平均就像一場拔河。
　　小明月考總共五個科目，發完四個科目的考卷後，四科平均63分，那請問，如果小明想要讓五科的平均到達70分，那他最後一科至少要拿到幾分？
　　在63分這裡有四科，就像是有四個人從數線的左邊低分處拉著，距離70分差7分，表示左邊每個人付出7分向左的力，這樣左邊總共就有4（個人）乘以7（的向左拉力）＝28（向左的拉力）。
　　而右邊只有一科，就是只有一個人拉，可是光他一個人要使平均維持在70分，他就必須要有足夠大的拉力去平衡其餘四個人向左的拉力。那右邊的拉力總共是1（個人）乘以「還不知道的數」（向右的拉力）＝28（向右的拉力），那麼這個「還不知道的數」就必須要足足有28那麼大，才能夠使平均拉到70分，所以最後一科的成績需要考70（分）加上28（分）＝98（分）
　　（延伸思考：國高中的物體「重心」概念；對於某些不等式何時等號成立的預測）

　　［國中］配方法
　　你是否曾這樣想過，配方法就像是在翻譯。
　　像是中文裡把成語「家徒四壁」翻譯（解釋）成「生活貧困」那樣。
　　把不懂的句子（未知的）轉變成以前學過的句子組合（由已知組合出的）。
　　如果你解得出「w – 3 = 0 ，w = ?」（答：w = 3），也解得出「k ² = 4 ，k = ?」（答：k = ± 2）（如果你懂，那麼這兩個式子對你而言就是「已知如何解的」）
　　那麼「配方法」就是把一個一元二次方程式問題「t ² + 6t + 3 = 0 ，t = ?」藉由把t ² + 6t 用「( a + b )² = a ² + 2ab + b ² 」的方式「翻譯」成「( t + 3 )² – 9」。
　　接著令u = ( t + 3 )，原本給的一元二次方程式就被翻譯成「u ² – 9 + 3 = 0」，移項後相當於「u ² = 6」。
　　而原本求「t = ?」的問題就變成求兩個「已知如何解」的問題，分別是「u ² = 6，求u = ?」（答：u = ±（根號6）），以及「u = t + 3 ，已知u，則t = ?」（答：t = u – 3 = ±（根號6） – 3）
　　（延伸思考：「族繁不及備載」──翻譯後的意思是「太多太多種類，說也說不完」。這個「翻譯」的想法是許多巧妙解法背後的運作原理。不過，當初人們是如何想到巧妙解法的呢？這就不是三言兩語就能道盡或了解的事情了。）

　　［高中］
　　「方程式求解轉成圖型求交點」、
　　「以區域區分連續函數取值正負」（這句話只是看起來複雜，因為我不知道該如何用一句話表達這個直觀的概念）、
　　「排列組合把重複組合（Ｈ）『翻譯』成排列（Ｐ）或組合（Ｃ）」（多些思考，就能少背些東西）
　　……

　　上面這些概念要用文字寫清楚，不是一兩張紙就能輕易完成的。（面對面講可能會快許多）
　　而其中某些在我寫的「100年學測數學選擇題詳解」中著墨許多，有興趣的話可以讀讀看（或者想要直接用問的也沒關係～底下有聯絡方式）。

　　這裡推薦幾本有趣且與數學相關的書籍，裡頭寫的多半是些生活中的事物，卻能夠用數學去解釋，或者做出較好的選擇。
　　《為什麼公車一次來３班？》
　　《一條線有多長？》
　　《幾隻襪子湊一雙？》──此三本書皆同位作者：羅勃。伊斯威

　　也有些是收集了許多古老及新穎的邏輯謎題的書籍，舉凡拿火柴棒、用天平秤重、判斷誰說謊、解開密碼……
　　《數學隨筆》作者：伊庫納契夫
　　《愛因斯坦的試題》作者：傑瑞米．史坦葛倫
　　其實許多題目在網路上皆可尋獲，搜尋「益智遊戲」可以找到許多好玩的問題。

　　也有較為偏人文的，像是《幹嘛學數學？》作者：斯坦

　　又若是你在數學方面的程度已經自認不錯，那可以試試看《波蘭數學競賽集》或其他數學競賽的試題（例如ＡＭＣ、ＡＩＭＥ、ＴＲＭＬ……等）。
　　想不到時翻解答也沒關係，只要能理解，也是一種學習。

　　我也滿喜歡玩遊戲的（尤其是益智遊戲），如果你有什麼想分享的，非常歡迎你來和我說～

　　數學絕對不只是學校學的那套。我想教、想分享（也滿有興趣學XD），而事實上，光你讀了這篇文章，我就算有分享到囉！
　　這篇文章雖然是找教的經驗（也就是找想學的人），但對提升成績較感興趣的家長或學生請不用費心找上我，我既沒有那樣的能力（請找專業的補習班）也沒有意願助長升學主義。不過如果你真的想學好大學以前的數學（不管你是什麼年紀），而且願意自己花時間讀（一天至少一小時），那我很樂意做你的指導，並且供你諮詢。（可稱為教練）
　　（不過通常有意願一天花一小時學某樣東西的人，自學就能稍有成就了。）

　　至此僅是這篇文章的段落（有太多想分享的及解釋的寫不進兩張紙），有緣人可上網瀏覽全文，網址：http://www.wretch.cc/blog/ddxu2/12352035
　　其餘聯絡方式：手機０９６３００８２７８；信箱：ddxu2@hotmail.com.tw
　　我叫黃紹東，若你有想分享或好奇的，都可以跟我說囉！
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　　話猶未盡。

　　如果你是從宣傳紙上連結到這裡的，那我先在此預告一些事。
　　接下來的文章的文字結構會較為鬆散（因為拔除了兩張紙的限制XD），也會設法解釋清楚某些概念（也有些是那兩張紙中有寫到，卻沒解釋清楚的部份）。

　　首先要為前兩張紙備註的是：「我目前沒有做教練的經驗。」
　　亦可說那是我的理想，需要冒風險，只想尋求安逸的話，找上我很可能令你失望。

　　第二個備註，在講配方法時，我使用了「翻譯」這個詞，這是我臨時想到的詞（半夜四點多打那段文字，為了配合舉例），較為精確的說法是「把未解的問題轉變為已解的問題」，這其實是個生活中很常見的概念。每天我們面臨不同的事情，卻能夠將其分解或歸類為某些已經了解的狀況，做出適當的判斷。這或許可說是人類天生的能力。

　　接著要提我的教學方式，一開始寫宣傳單的時候，原本內容是想直接寫教學方式的，後來有了意料之外的發展（變成寫有趣的觀念、及許多分享）。既然如此，就決定把教學方式寫到這篇文章裡。

　　提到教學方法，就會提到原先家教幾個月後感覺到的，以及在網路上應徵家教時所發生的事情。（意思是接著要說故事了，這對我而言是諸多的領悟，期待你亦會有些收穫）

　　第一次接家教，雖不是非常正式的事情，但卻是滿值得回味的故事（但我在此略過XD）。

　　從第二次找的家教經驗說起吧！

　　教學的時候，我的教法幾乎皆以觀念為主，我較少做「解題」的舉動，倒是經常「提問」或是「解釋題意」，偶爾「講解觀念」。
　　
　　講解觀念的例子，我頗喜歡的觀念是「排列組合」中的重複組合問題。
　　由於若寫在這裡會影響文章進行（就是我想表達的會被中斷XD），有興趣的人可以自行參閱：http://www.wretch.cc/blog/ddxu2/12352041

　　教了幾個月後，對於數學能力上的成效，我覺得很難說。
　　不過倒是玩了許多益智遊戲；丟出了許多有趣的問題；分享許多對於人生的想法……

　　鑒於我似乎很難說真的教了什麼，或者說是「講的時候都能讓對方聽懂，但若是到考試的時候仍會忘記怎麼解」，我有個想法萌芽：「會不會，讓別人理解觀念，和使其能在需要解決問題時拿來應用，是兩個方向的事情？」

　　我也不特別出作業給學生，也不要求對方一定要寫數學講義（但她爸這麼要求），但，一個人如果一週只在家教上課時花三小時讀、學、想數學，又有可能學得多好呢？
　　或者該是說，現在的我只是在教對數學興趣不深的人理解數學嗎？這樣對他們又有什麼意義呢？
　　（我由衷地覺得上面這段話，表達的意義好模糊，卻尚未想到較好的寫法。）

　　一邊想著這個問題，一邊在網路上繼續找教數學的機會，約到一場面試。

　　是為自己弟弟找家教的姊姊，是個很特別的人。
　　她開放給所有有意願的人面試，並且承諾不論是否錄取，會給每個人建議。

　　詳細的故事，我也想聽，不過不知道有沒有機會就是了。

　　面試那天，我到的比我預定的時間早許多，那時也有許多來面試的人已經在場。

　　她發給每人一份試題卷，來檢測應徵者的數學能力。

　　沒有限制時間，所以我慢慢地寫。

　　是數列級數以及排列組合的問題。

　　或許過了一個小時吧，我把問題解完了，拿起了另外一張紙。

　　上面寫著「姓名：學歷：信箱：……」等的基本資料欄，也提了些問題。
　　「如果你是找家教的家長，你對於來應徵的家教老師有什麼要求？」

　　我看到這道問題，想了一下。
　　「我會有機會生養孩子嗎？」
　　「就算會好了，我與其幫我孩子找數學家教，不如自己教他？」
　　那就不要想找數學家教的情形好了。反觀我自己的人生中有找家教的經驗嗎？

　　有，是國小學鋼琴的時候，那時候每週上一次鋼琴課，練琴，到課程開始偏難的時候，我就沒有那麼感興趣了，經常上著鋼琴課一邊想著玩電腦遊戲的畫面。

　　到了現在，我的鋼琴跟不會彈沒有差太多。
　　「所以意思是，我媽請了鋼琴家教，我卻也沒有學得很好？」

　　就這麼躺在椅子上，任由旁邊寫完考卷的人先去面試，慢慢地沉澱自己的思緒。

　　也想起了當時她回信時說，我的來信是一封很特別的履歷。
　　我也搞不懂，普通的履歷究竟長什麼模樣呢？

　　現在正在面試的人，他們的對話聲我也聽得到，他考卷空白了一題，聽見他不斷地解釋自己為什麼不會寫，太久沒接觸啦之類的。

　　過了許久，那時間來應徵的人都已經結束了，我帶著考卷起身過去。
　　聊著聊著，也分享些彼此的想法。

　　「我不會讓你去試教的。」她這麼說。
　　一開始聽到的瞬間，我還以為是「只有直接教，沒有試教的機會」XDD。

　　後來不是，她的說法是：「你太聰明以至於不適合」，我並不介意沒有錄取，不過對於這句話我卻也不知如何確信。
　　我以為我自己解釋觀念的能力算中上，是在了解觀念又有能力解釋的平衡點上。
　　也認為「學業上學習成效不彰的學生，要讓比較會教的老師去教。」（這幾乎算是種自負了XD）
　　可是，搭配上前幾天浮現的想法。
　　「理解觀念和應用是兩回事啊。」
　　意思是，這世界不需要有這麼多人理解這些觀念嗎？很多東西只要會應用就好，背後的理論是什麼並不總是重要的。

　　我似乎是不擅長教人「反覆地操練」以加強「應用的能力」。

　　而考卷上，雖然我也寫錯了一題（後來想想我會錯那樣的問題，是太不嚴謹了），但她提到前幾位來應徵的人，都沒有解完整張考卷。（其實也才兩大題）

　　這令我訝異了，意思是在家教的社群中，有些人教導自己也不怎麼懂的東西嗎？
　　又或者只是恰好沒有做準備罷了。

　　說了自己以前學鋼琴，現在不怎麼會，以及對這件事情的想法。
　　「意思是，與你想做的事情產生矛盾了嗎？」她說。（是指「我如果是家長，我不會特別想找家教，可是我卻在應徵教數學的機會」）
　　「或許可以這麼說吧。」我同意她。

　　她男朋友也在旁邊，我和他們分享先前在期刊中看到有關「以前的人是怎麼求對數值」的故事。

　　面試結束後，因為面試的地方其實是個桌遊餐廳，而且老闆是個愛好益智遊戲（我想一定是XD）的人，那裡就擺了許多古代的「鎖」、「卡榫」，這些東西把兩塊金屬扣在一起，中間雖然有洞卻無法輕易抽出，或許要用特殊的角度，或一些反直覺的移動方式才能分開兩者。
　　古代會設計出這些東西，據老闆的說法，是因為當時沒有釘子可以連接東西，所以就設計了這些可以很穩固「結合」在一起的鎖或卡榫，或可說是工藝的技術吧。

　　玩著玩著，有些人進來，提議要玩農家樂。

　　我不太清楚自己是依據什麼樣的心態，一方面我很有興趣玩遊戲，另方面我腦中似乎感覺自己在做某種刻意的行為。（不需要嘗試理解我的意思，只是當時的感受）

　　於是一個老手帶我們三個新手（我和其他兩個人），四個人玩一場農家樂（家庭版）。

　　學習一個新遊戲。

　　玩第一場，受了些微的指導，拿了２０分（算很低）。

　　而有個人剛才就在旁邊看，玩第二場的時候，某些因緣際會之下，她過來指導我。
　　與其說是指導，也可以說是我猜測她想做的動作。
　　（只要我一做錯她就會說話XDD。）

　　在與她的溝通之中，我犯了許多錯，諸如選格子時沒注意到其他格子「很明顯是更好的」（例如明明有３個食物，我卻只注意到２個食物的格子）。
　　或是選擇資源時以「哪種資源感覺比較多」來選擇而非「哪種資源是我需要的」。
　　有些是觀察別人要做些什麼，藉此來決定自己要先走哪個行動，而哪些行動格不會有人和自己搶，可以等最後再走。
　　還有些是我被指導後也不懂為什麼的動作。

　　（有人會好奇為什麼這篇文章要琢磨玩遊戲的部分嗎XD？）

　　我想，我要學習「我是如何學習」的。
　　或許這能協助我去幫助別人學習。

　　一開始新手會犯的錯，就跟學數學時腦中沒有充分的資訊是一樣的，會很容易忘記某個東西可以用（忘了某個格子的存在），或者執著於某個較為無效的想法（以為這個格子要先踩）。
　　學正規（學業上的）數學前，腦中必然要有足夠且穩固，以及容易回憶的「知識基礎」，不然在一直犯「只要提醒就不會犯的錯」的過程中，難以學到更深入的東西。
　　（用遊戲的說法是，如果一開始犯了些基本的錯，後期根本就沒有競爭的機會，到那時候「深遠的計謀」或「行動的優先順序考量」都會被「為了維持基本生存」而搞垮。）

　　意思是，只有在「不會輕易犯『知識』上的錯誤」後，學習數學才真正開始。
　　（備註：「知識上的錯誤」是指像數字符號、運算符號的意義，還有題目上的中文。如果這些東西不熟練，即使在寫題目時犯了錯，也不知道自己是犯了什麼錯，說不定是知識上的錯誤以為是邏輯思考上的錯，因而建立了錯誤的思考推論。）

　　又或是，有沒有辦法讓這些基礎的知識，變得像玩農家樂那樣，只要用心地玩幾次就會熟練？（每張職業看到圖片就知道功能、有什麼資源的時候可以做什麼事情……）
　　或許學習的熱誠也是其中的一部份吧。
　　像我現在自己練了幾場，每一步都謹慎思考，設法把預測情況的能力再往前推進。

　　想把數學設計成遊戲，腦中就又浮現了一個遊戲。
　　讓全班分成小隊競賽，每個人有幾張數字卡片，開頭先公佈幾道題目，例如「擁有最多組相加等於１０的」、「擁有最多組相乘大於２０的」、「全部相乘比其他小隊都大的」，然後讓學生們自行分組。
　　感覺可能會很有趣XD。
　　（如果再加入個輪抽機制（我玩瘋了嗎XD），可能會更有趣）

　　在那天迷上農家樂之後，隔天和母親吃早餐時，我提起了以前學鋼琴的事情。
　　當我說完我的想法，我媽說了一句令我頓悟的話。
　　「我當時也沒有想要你以後很會彈鋼琴，讓你學鋼琴只是培養你的音樂素養。」她這麼說。
　　所以是這樣啊……
　　只是給點機會，未來孩子想要怎麼樣，那就不去多預期了嗎？

　　如果說我教數學，也是以培養孩子的思想、邏輯素養，這樣的想法如何呢？
　　這的確滿符合我所能勝任的，只要有一個對想事情、玩遊戲不太排斥的人在面前，我都經常興高采烈地和對方玩些益智遊戲。
　　若是對理科較有興趣的，我腦中甚至還有許多有趣的問題，在生活中發現，或者是偶然想到的。

　　這就是我開頭的文宣為何那麼寫了。
　　對這些事物有興趣的人可以找我；只想拿好成績的不要找我教（不過想問問題也歡迎XD）；想學好數學且願意承諾的人也可以找我。
　　（想玩農家樂而且願意電我的人也可以找我……不過我還是自己多練幾場會比較有幫助吧（？））

　　我很有興趣教、分享、引導（總覺得如果你認真看完這篇文章，那我這句話是多餘的XD）。

　　有關某些數學概念，想用圖片去解釋（一張圖遠勝數千文字），但還沒著手進行。
　　那些就都是後話了。

　　備註：
　　在結尾的這裡，我猶豫著要不要寫一件事情出來，有關「錢」的事情，會不會我這裡不寫，反而會有人誤以為和我聊天、問問題、彼此分享，或找我去教要付很多錢。（然後就不敢來找我聊XDD）
　　或許我不想談錢吧。
　　雖然的確是因為需要生活費，才有朋友向我提議可以公開找教數學的機會（啊我以前沒想過阿XDD），接著我洋洋灑灑地寫了一大堆很有興趣想分享的東西。（然後關於需要生存的部份一個字也沒提（？）XDD）

　　不過關於錢，我真的沒想太多，如果最後真的匱乏了，就去打「臨時工」吧XDD（就是打工的意思）。
　　我開價０元，要不要附議你決定。（我目前住台中，如果你（或找一群同學（？））約我，我很樂意過去聊聊天XD～）（但如果在其他地區，還是線上聊吧XDD，真的要見面的話，其餘的細節都是可以更動的。）

　　對於家教的生態也不怎麼了解（我指我），有時候想：「知識為什麼這麼昂貴呢？」
　　想起歐幾里得的故事，當有個學徒問他說：「我學完幾何之後能做些什麼呢？」歐幾里得叫僕人給他一枚硬幣，隨後把他給趕了出去。
　　沒有應用，就不會有現在的世界。
　　但若沒有對根源更深層的理解，就無所謂未來。