我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　－－－－－２０２０／０７／２９更新－－－－－

　　要參與這篇文章的討論，或看看其他涉入數學較深的人的觀點，可以到以下的FB社團數學愛好者裡參閱。

　　https://www.facebook.com/groups/204862582895831/permalink/3160612253987501/

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　　總之又是最近工作上遇到的情況，查了查還是想寫點文章（雖然就是整理加抒發一下）。

　　先講我個人的結論－－

　　「一對無不是函數，但國中教函數關係時，應拔除「一對無不是函數」的這個事實，不教這件事情，也不去檢測這件事情。」

　　這個問題其實多年來很多人問過，上網查就查得到。

　　昌爸工作坊論壇－函數的判別http://www.mathland.idv.tw/forum/memo.asp?srcid=32946&bname=ASP

　　PTT數學版－y=f(x)=1/x 是否為函數https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1338736922.A.871.html

　　現行國中數學中教到函數關係時，會說明對應關係中，一個輸入得到一個輸出的就是函數關係，所以一對一是函數，多對一是函數，一對多不是函數，「一對無不是函數」。

　　而「一對無不是函數」這件事情在國中有什麼用呢？

　　唯一用來檢測這個觀念的題目是畫兩個圈給你，兩邊分別有一些符號，然後有箭頭從左邊連到右邊，請問這個對應關係是不是函數關係？

　　然後例如，左邊有個數字３沒有往右邊連的箭頭，因此是一對無，不是函數關係。

　　除此之外這個定義不會在任何地方被利用到，而以我個人後來念數學的感覺，這個定義的實際意義也不大，只是用來釐清函數的定義域，我的意思是，未來學習函數時，我們會講解函數的定義域，將一對無的部分排除到定義域以外。

　　也就是說，這是一個可以在＂講解定義域＂的時候，說我們為了要保持函數足夠好的性質，要把一對無的情況排除掉，因此我們規定函數不能含有一對無的情況。

　　舉例來說，y=1/x這個函數關係，我們會將x=0的情況排除掉不考慮（移出定義域），使這個關係能保持良好的函數關係。

　　一般來說，一個定義沒有實際的用途，也未必需要被拔除，但問題是單講這個定義會引發其他的麻煩。

　　因為現行教材中國中是不教函數的定義域、值域的，當我們規定「一對無不是函數」時，問題就來了：

　　「請問y=1/x是不是函數？」

　　答案為「是」，但要怎麼和國中生解釋？不講解定義域的概念的話應該沒辦法？

　　（題外話，108課綱國中數學不提f(x)的形式）

　　實際上考試不會這麼問，但它可能會這麼問：

　　「若xy≠0，且x和y成反比，請問y是否為x的函數？」

　　「觀察下列函數，何者為線型函數？（而後其中一個為y=1/x）」

　　「請問函數y=1/(x-3)在x為多少時函數值無意義？」

　　在學生學習到一對無不是函數（又不了解定義域）後，這些問題都會變得有瑕疵。

　　甚至以最後一題來說（這題是實際存在的學校考試題目改編的），可能根本是有問題的，如果定義域排除了x=3的情況，那這個函數在x=3時的值應是「無定義」，也就是沒有結果，而非它的函數值無意義。

　　最嚴謹的做法可能是在國中就把定義域的觀念講出來（不用明講定義域三個字），說明函數需排除了一對無的情況，將一對無的部份去掉，就會是函數了（在沒有一對多的一般情況下）。但這或許不是國中數學教函數觀念的本意，主旨應是建立對應關係的概念。

　　另一個做法是開頭提的，國中不提一對無不是函數，也不檢測這件事情，也可以說實際上是暗示「關係中有一對無的情況也是函數」，但盡可能迴避。

　　還有另一種我覺得更好，但不太嚴謹的做法，就是在國中時真的把一對無的關係也視為函數，不刻意去迴避，不特別教，但可以檢測，如「x和y成反比，請問y是否為x的函數？（直接省略不寫xy≠0的條件）」。

　　我們可以這樣想，一個函數須滿足一些良好的性質，輸入固定輸出固定，每個輸入都有對應的輸出。可以在國中時只教前者，把一對無的「無」也當成一種輸出；到高中講解定義域時再教後者，將這個定義嚴格化。

　　這個做法跟國中教一元二次方程式無解（而實際上是無實數解）類似，先建立初步的概念，完整的等到之後學得更深時再接觸。

　　寫了這麼多可能還是不會改變什麼（？），就當成散播信念，或聽聽看大家有什麼想法？