這篇文章是前一篇《大學的數學系在學什麼？（微積分）》的後續，由於其他科目我實在也沒有太深入的瞭解，所以這一系列一直沒繼續下去。
但確實每個科目我都有學到一些有趣的概念，這篇文章會將我在每個科目中接觸到，覺得很有趣的概念提出來，稍微解釋一下。
或許會對剛接觸這些科目的人有些許的幫助。
這篇相對來說不會那麼嚴謹，也不會提到太深的東西，多半是一些比喻。
〈線性代數〉
「基底basis」的概念，一個線性空間可以由基底生成(span)，某方面來想，就是所有情況都可以由簡單的幾個東西組合而成。
複雜的世界有可能用幾個簡單的東西組合而成。
而這些簡單的東西，彼此獨立(independent)，任何一個都不能由其他的組合而成，缺少一個就沒辦法完整地表達所有的情況。
當然線性代數裡會有線性的關係，但我覺得主要有趣的是「幾個東西就能組合出所有東西」的想法。
要瞭解萬物，可能不用真的研究所有萬物，而是可以研究組成萬物的基底，例如元素、以及它們各種可能的組合方式。
另個很有趣的定理是「ｎ維空間中，可以藉由ｎ個線性獨立的向量，構造出ｎ維空間的單位正交基底」，不知為何這個定理在我當時的班上似乎讓不少人感到困惑，但其實它是個很簡單的概念。
首先將任意一個向量除以它的長度，得到基底中的第一個向量；
接著再任取一個向量，我們要設法得出一個和第一個向量垂直的向量，方法很簡單，把這個向量中，往第一個向量方向的分量減去就可以了，剩下來的就會是和第一個向量垂直的向量（之後再除以長度得到單位向量）；
重複上述的操作，要得到和前２個向量皆垂直的向量，就把這個向量中往第一和第二個向量方向的分量都減去，就可以了。
這樣一直做下去，就可以得到ｎ個兩兩垂直且皆為單位長度的向量，即為此ｎ維空間的單位正交基底。
生活化一點地說，如果你要分析一件事情的因素（基底），要從各種因素中得出獨立的因素，方法就是將一個因素中有關其他部分的因素排除（純化（？）），最後剩下的就會是和前面幾個都無關的因素。
當然現實中的分析並不會那麼簡單就是了……這只是一種嘗試的方法。
〈代數〉
如其名，線性代數就是較為狹隘的代數（？），在群（group）裡一樣可以看到類似「基底」的概念，也就是一個群裡面的某些元素可以生成（generated）整個群。
從代數的角度，加法中的相反數，乘法中的倒數，在群裡都是反元素的意思（加法反元素和乘法反元素）。
現實生活中我所瞭解的，最明顯可以看成是一個群的，就是魔術方塊，不過它比較不是一開始教的那種群（雖然概念上幾乎一樣），而是群論後面教的，有一個集合（set），跟一堆行動（action），這些行動是一個群，而每個行動都可以將集合中的一個元素送到另個元素。
最基本的是單位行動identity（習慣寫成e），它會把集合中的元素送到它自身，也就是不動。
可以把魔術方塊的所有可能的情況，看成是那個集合，而每一種轉法，就是一個行動，對魔術方塊做一個行動，就可以讓這個魔術方塊從當前的情況變成另種情況。
而上面說的單位行動對應到魔術方塊的轉法，就是保持原樣，跟什麼都不轉一樣。
那把魔術方塊想成群，有什麼幫助呢？可以用群的角度來發現魔術方塊的性質－－「依照一種轉法，重複地操作這個轉法，必然會在有限次以內，轉回原本的模樣」，以群論的角度來說就是，有限群中每個元素的order都是有限的，必然存在k使得a^k=e
因為魔術方塊的所有情況是有限的，所以所有不同的轉法也是有限的（導致同樣結果的視作同種轉法），所以可以得出上面的結論。
有魔術方塊的朋友可以自己試試看，選一種複雜的轉法，一直重複做，看多久會變回原樣。
倒是有個我會好奇的問題，這個群裡是否存在一個元素，可以生成所有的元素呢？也就是說，是不是有某種轉法，只要重複操作這個轉法，就能轉遍魔術方塊所有可能的情形？
群論中有一個定義叫normal，數學中很多科目都有「normal」這個詞，起初我實在是不懂為什麼叫normal，還有這個定義的意義是什麼。後來有機會問到教授才搞懂，在代數裡滿足normal性質的子群才可以用來＂除＂群，會得出factor group，如果用一個不是normal的子群去除群，得出來的東西會有問題。
所以我想＂normal＂這個字可以理解成＂漂亮＂、＂好＂的意思，也就是說，有這個良好性質的東西，才是我們主要在意的東西，或我們主要能處理的東西。
之前看到國立台灣師範大學的英文校名National Taiwan Normal University，校方說明了校名裡normal這個字是來自拉丁語，有「規範」、「模範」的意思，想來這是比較貼切的解釋。
〈高等微積分〉
高等微積分和微積分的主要差別是，比較不那麼著重於計算，而重於理論；以及函數的維度上升，不像微積分中主要只討論從二維送到一維的函數（函數圖形在三維空間）；以及實數完備性。
讓我印象深刻的（其實和上面這些都沒什麼關係）是「均勻連續（uniformly continuous）」的概念，在微積分中，連續的概念是要多靠近就能有多靠近，就可以了，但在均勻連續的想法裡，給定要靠近的距離後，希望能找到一個足夠小的範圍，對於函數的各點而言，如果離該點的誤差小於該範圍，取值就能夠那麼地靠近該點的取值。
這可以從實驗上的需求來談，我的實驗要做到多精細的程度才可以？可以確保我的結果不會離事實差距太遠？
在一般連續的情況下，函數取值可能會往上延伸到無限大，這會導致我的初始值誤差一點點，結果卻差得非常多。
以地型的比喻來講，不均勻連續的函數圖形，就像是懸崖，差一步就會墜落，只差一點點，結果就會差很多；
而均勻連續就像是高原、丘陵，不管你處在何處，只要差距在一定的範圍內，結果都會差不多。
如果實驗的公式是均勻連續的函數，那我們就可以確保，測量數據與實際數據的誤差只要在範圍之內，公式得出的結果也必然會在一定的範圍之內。
我喜歡把這個概念套用在生活上，有些事物有均勻連續的傾向，例如泡一碗泡麵，你多滾一分鐘，好吃的程度不會差太多；
那有些事情就不是如此，例如各種專業的料理（雖然我沒研究），每一分一秒、每個火侯，差一點都可能讓成品從完美變成劣質。
根據你選定的事情（目標）是怎樣的性質，就會有不同的學習策略。
看是要擅長挑選結果不會差太多的東西做；
還是要磨練自己減少誤差的能力。
〈對局論（賽局理論）〉
這可能不算是大學的課程，但我要講的也沒有很難。
「囚犯困境」可能是一般人最常聽到的，每個人都做他認為最好的選擇，結果對每個人而言都更糟。
我覺得有趣的是「最佳解（納許均衡）」中的某個情況，例如象棋或圍棋這些沒有運氣成分的遊戲，從賽局理論的觀點來看，這些遊戲都有最佳解，以圍棋讓半目阻止平手的情況來說是，這個遊戲是先手或後手必勝的（假設雙方智慧都無限（？））。
例如圈圈叉叉大家可能很熟悉，知道這個遊戲的最佳解是平手。
而象棋或圍棋一般不會有人說「先手必勝」這種事情，那是因為人類的智慧沒有達到能窮舉的智慧，也就是說，理論上這些遊戲是「先手（或後手）必勝」的，但實際上我們沒有能力把所有可能性想完，所以實際上還是各憑人的本事。
像圍棋的AI也不是用窮舉的方式跑完全部情況，所以AI所掌握的下法並不一定是最佳解，人類還是有機會取勝。
理論上要怎麼證明先手或後手必勝的方法是這樣，隨機下完一盤，後手下完最後一子，如果是後手贏，則回手兩步，讓先手換另一個動作，後手再看有沒有哪種下法會贏，如果有的話，再讓先手換另一個動作，一直檢查完這兩步以內的所有情況。
如果這兩步以內的所有情況，結果後手都能取勝，那就改成倒退四步，讓先手改動作，然後把剩下三步棋的情況跑完。
如果具體一點來說的話，就是你跟一個人下棋，只要最後你輸了，你就回手到上一次動作，看有沒有其他種做法可以讓你贏，如果還是沒有，就再往前回一手，看能不能贏。
一直重複回手，如果有你能贏的情況出現，就換對方可以回手，改他當時的上一步。
兩個人這樣一直回手，回到遊戲開始時的第一動，這一動如果做這些事，先手會贏，那麼這個遊戲就是先手必勝的。
而如果第一動不管做什麼事情，都是後手會贏，那這個遊戲就是後手必勝。
當然這種找出最佳解的方式很沒效率，人類基本上也不是這樣在研究遊戲的，我們的做法是「構思一套短期（相對於窮舉而言）策略」，這套短期策略可以決定你當下要做什麼，別人做什麼的話你要怎麼回應，而我們認為有些策略比較好，有些策略比較糟，這就形成了各種流派。
但這些好壞的想法也不一定是事實，被認為比較糟的策略，可能只是大多數情況下比較糟，說不定在被認為比較糟的策略中，存在著一串可以逆轉的下法（用窮舉跑完所有情況，發現有一種情況會贏就夠了），只是未曾有人注意到而已。
〈基礎圖論〉
這應該是只需要高中基礎就能學習的課程，數學科普中很常出現的七橋問題就和圖論有關（圖論的起源？）。
比較有趣的是「四色定理」，不過四色的版本應該沒有那麼容易理解（我也不懂），五色定理倒是不難理解。
「任何一張平面上的地圖，以線區格出各個地區，如果要為這張地圖著色，且相鄰的地區不同色，最多只需要５種顏色。」
（當然實際上最多只需要四種顏色）
首先將地圖轉換成圖論中的平面圖，每個地區都是一個點，若兩個地區相鄰，則用一條線連接。
所以上述的定理用圖論來說是：「任何一張平面圖，為每個點著色，且相連的兩點不同色，最多只需要５種顏色。」
這個定理的證明是用數學歸納法，假設任意ｎ個點的平面圖皆可以用五種以下的顏色塗完，則ｎ＋１個點也可以。
首先需要找到一個連線數（ｄｅｇｒｅｅ）小於等於５的點，也就是說它和少於等於５個點相連，將這個點以及它連出去的線暫時移除，就會剩下ｎ個點，這ｎ個點根據假設，可以用５種顏色塗完，所以問題就變成：
「一張已經用５種顏色塗完的圖，如果加上一個ｄｅｇｒｅｅ小於等於５的點，新的圖是不是一樣可以用５種顏色塗完？」
這個問題在這個新增的點ｄｅｇｒｅｅ少於５（不等於５）的時候是很簡單的，因為原本的圖用五色可以塗完，我只要為新增的這個點塗上一個可以的顏色，而如果這個點只和最多４個點相連，那這４個點的顏色最多也只有４種，所以必然還有一種顏色可以用，就用那種顏色來塗這個新增的點，新的圖就同樣用最多五種顏色塗完了。
所以問題在於，如果這個新增的點，它的ｄｅｇｒｅｅ恰好等於５，並且與它相連的五個點的顏色都不一樣，要怎麼辦？
由於這篇文章沒打算畫圖，所以要用純文字講解完整是不太可能的（有興趣的人可以上網搜尋五色定理的證明或查書），這邊只大概講概念。
設法把周圍五個點中的一個點的顏色，換成另外四個點的顏色，這樣一來周圍五個點就只用掉四種顏色，新增的這個點可以塗第五種顏色。
舉例來說我想把周圍Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ中的Ａ點從紅色換成Ｂ點的藍色，但問題在於，Ａ點可能原本有另個藍色的點和它相連啊，這樣怎麼辦呢？
為了把Ａ點從紅色換成藍色，我只好將和Ａ相連的藍色點，全部換成紅色，可是這又會繼續往後推，這些藍色點可能原本就有相鄰的其他紅色點啊。
那就繼續換吧，簡單地說，我從Ａ點開始，向外延伸，只要碰到原本是紅色或藍色的點，就全部把它們的顏色調換。
這樣得出來的圖（還沒加上新增的點），一樣是用五種顏色塗完的（最差的情況就是整張圖的紅藍色都對調，你就可以理解這兩種顏色交換是沒有差別的），並且Ａ點是我想要的藍色。
做完這樣的交換以後，如果Ｂ點還是藍色，那我們就成功了，周圍的五個點只用了四種顏色，新增的點可以塗上紅色。
但也有可能，做完這樣的交換後，Ｂ點的顏色也被交換，變成紅色了，這樣新增的點周圍仍然是五種顏色，沒有解決問題。
但是注意到，當這種情況發生時，就表示Ａ點和Ｂ點，中間有一連串的紅點和藍點，將它們相連。
這是一個紅藍鏈（ｃｈａｉｎ）。
如果Ａ換成Ｂ的藍色不行，那就換成Ｃ的綠色吧。
如果成功，就完成了；如果從Ａ點開始向外延伸，交換紅綠色的結果，導致Ｃ也變成紅色，那就一樣沒有解決問題。
但是同樣的，會得到一條連接Ａ、Ｃ的紅綠鏈。
重複這個操作（其實主要只要做其中兩條），可以得到Ａ、Ｄ的紅黃鏈，和Ｂ、Ｄ的藍黃鏈。
想像中心新增的那個點，像海星一樣向外連線連接到Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五個點，依順時鐘方向命名，那麼可以看見，Ｂ點會被新增的點，和Ａ、Ｃ的紅綠鏈包圍住，而Ｃ點會被新增的點和Ｂ、Ｄ的藍黃鏈包圍住。
但是，這裡就出現問題了，Ｂ點如果要連接到Ｄ點，由於Ｂ點被Ａ、Ｃ的紅綠鏈包圍住，所以過程中必然會經過Ａ、Ｃ鏈上的點，「但是Ａ、Ｃ鏈上的點只可能是紅色或綠色」，而Ｂ、Ｄ的藍黃鏈上只可能是藍色或黃色，所以這導致矛盾，藍黃鏈和紅綠鏈明明有交點，但交點的顏色既要是紅色或綠色，又要是藍色或黃色，這是不可能的。
所以這表示，這兩條鏈不可能同時存在，必然有一種不存在，就說是Ａ、Ｃ的紅綠鏈不存在好了，那就表示從Ａ點向外延伸，所有紅綠色的點交換顏色後，Ａ點變成了綠色，但Ｃ點不會變成紅色（因為Ａ、Ｃ中間不存在紅綠鏈）。
這樣Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ這五個點就只用了四種顏色了，新增的點可以塗上紅色，得證ｎ＋１個點也可以用５種顏色塗完。
根據數學歸納法，對任意數量的點所組成的平面圖，都可以用五種顏色塗完且相連的點不同色。
得證。
（結果我還是講完了，但如果你讀不懂也是很正常的）
當然這整段論證有一個前提，就是這個ｄｅｇｒｅｅ小於等於５的點，如果這樣的點根本不存在，這個論證就毫無意義。
不過當然，這件事情是對的，任意平面圖中，必然存在一個點的ｄｅｇｒｅｅ小於等於５，這是圖論中的一個定理，而這個定理也不難，而且也不是這個證明中最有趣的部份（最有趣的部份是想到兩種顏色的鏈）。
搞懂五色定理後，很自然地想問，這個證法不能證明出四色定理嗎？
我當初試了以後，差點以為自己證明出四色定理了，不過當然是沒有，我猜想我犯的錯應該和當初第一個提出四色定理證明的人一樣。你可以自己試試看，感受一下那種覺得自己證明出很猛的定理的錯覺（？）。
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