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100年學測試題及解答連結hhttp://www.ceec.edu.tw/abilityexam/AbilityExamPaper/100SAT_Paper/100SAT_PaperIndex.htm

7.設 O 、 A 、 B 分別為複數平面上代表 0 、 1 + i 、以及 1 - i 的點。請問下列哪些選項所對
應的點落在三角形OAB 的內部？
(1) cos 60度
(2) cos 50度 + i sin 50度
(3) (4 - 3i) / 5
(4) {1+[3^(1/2)]i} / 2
(5) (cos 30度 + i sin 30度)^25

　　備註：《這題一樣，題意不解請見原試題》

　　遇見時的想法：　　

　　底下的講解很落落長，實際在看到這題的時候，我標完了三個點的座標，然後隨便試了一兩個
選項，才感覺到這與角度有關《到這時我才注意到OA線段與實數軸是 45度的夾角》。
　　然後想法就在幾秒鐘之內成形，因為乍看之下五個選項的長度都是１，我只要看角度是不是在
 -45度到 45度之間即可。
　　而 正負45度其實就是 cos 會比 sin 大《是在考慮絕對值的情況下。理由可以試想其中一個角
度小於 45度的直角三角形》，馬上就可以在腦中略作計算看出答案，第五個選項用「棣美弗」算出
結果，再做對應即得解。

　　觀念：

　　首先，先把複數平面給畫出來，並在上面標記這三點。
　　如果你有在腦中想像或者在紙上畫的畫，那麼現在可以看見一個等腰三角形，精確來說，是一個
「等腰直角三角形」。《原因是因為 A 在此複數平面上的座標是(1,1)，由此可得知 OA 線段 和
 實數軸 的夾角為 45度 ， OB 線段與 實數軸 的夾角亦是 45度，故角AOB = 90度》

　　接著是，這道題目究竟要怎麼做？
　　第一個選項很容易，把它點上去剛才畫的座標中，就知道它在不在這個三角形之內了。

　　從第二個選項開始，就需要些概念，複數平面上的（cosＸ　＋　i sinＸ）其實就是在複數座標
平面中其單位圓上的點，如果前面有個係數，例如Ｒ（cosＸ ＋　i sinＸ），那就是在半徑為Ｒ之圓
上的點。

　　用極座標來表示的話，該點就是Ｐ（Ｒ，Ｘ）。

　　原本的三角形，稍微觀察一下。
　　它是從 R[cos(-45度) + i sin(-45度)]往上繞到 R[cos 45度 + i sin 45度]，在此R = 2^1/2。
　　再觀察一下，可以發現這個三角形涵蓋了單位圓上和實數軸的「主幅角」從 -45度到 45度的所有點。
　　《主幅角是指從「正實數軸」的方向，逆時鐘繞行所經過的角度，繞45度就是(根號2,根號2)那個
點，繞 -45度 就變成是順時鐘繞 45度。》

　　意思就是，待會底下的選項，只要長度小於等於１，然後其主幅角在 -45度到 45度之間，那麼其
就會落在這個三角形裡。

　　《如果上面落落長一串你看懂了，那接下來的事情就簡單了。》

　　第二個選項，它是長度為１，主幅角 50度的點，那這個角度不在 -45度到 45度之間，故其落在三
角形之外。

　　第三個選項，可以看出它的長度為１，那它的角度呢？
　　可以直接把 4 / 5 當作cosＸ，-3 / 5 當作sinＸ，可以知道該點在第四象限。
　　而稍微畫個邊長3,4,5的三角形，可以得知Ｘ與實數軸的夾角是小於 45度的，就知道這個點就在
 -45度到 45度之間。

　　第四個選項，一樣可看出長度為１，這裡的角度Ｘ，帶進sinＸ比cosＸ還大，且sinＸ和cosＸ都是
正的，表示Ｘ大於 45度，故錯。
　　《你可以自己試驗一下，為何sinＸ比cosＸ還大，且兩者皆為正的時候，Ｘ就大於 45度？》

　　第五個選項，還記得「棣美弗」嗎？
　　這就是極座標好用的地方了，因為把一個極座標給ｎ次方，結果就相等於把其主幅角乘以ｎ倍。
《還有長度要ｎ次方啦！》
　　30 * 25 = 750，由於角度拿掉 360度不會影響結果，所以減掉 720 ，得到 30度。
　　意思是，25次方之後還是 cos 30度 + i sin 30度《而長度原本就是１，25次方之後仍然是１》。
　　那我想，看到這裡，你知道答案了。

　　關於這題，我朋友提供另個更快的判斷方法。
　　這個三角形的邊其實就是 x = y or -y 的直線線段。
　　例如拿第四個選項來看，把它點在圖形上就是 （1/2 , (3^1/2)/2），那它要是（1/2 , 1/2）才會在
 x = y 的線上，而根號３除以２，這個數字比 1/2 還大，那這個點就會在那條線的上方了，意思就是，
它在三角形的外部。
　　其他也用類似的方式如法炮製即可。 

8.已知 sin X= -2/3且 cos X > 0 ，請問下列哪些選項是正確的？
(1) tan X < 0
(2) tan^2 X > 4/9 
(3) sin^2 X > cos^2 X 
(4) sin 2X > 0
(5) 標準位置角 X 與 2X 的終邊位在不同的象限

　　備註：《試題上用的角度，我沒辦法打出來，在這裡用 X 表示。》

　　第一個選項，我幾乎不怎麼記 tan的值，我只記tan X = sin X / cos X， sin X 是負，
cos X 是正，推得tan X 是負。

　　第二個選項，可以直接把它算出來，畢竟cos X = 根號5 / 3 很容易得出。
　　不過也有其他想法，看到sin X = -2/3，聯想到(-2/3)^2 = 4/9。
　　那因為tan X = sin X / cos X ，而「cos X 是一個小於等於 1 的數字」
　　《精確來說，在-1到+1之間》

　　分母是一個比 1 還小的數字，那表示原本的數字的值會變大《但負號還是在，只是待會平方
消掉了》。
　　tan^2 X 必然比 sin^2 X　還要大，故它大於 4/9

　　第三個選項，得把 cos X 給求出來了，稍微一比較，就知道結果了。

　　第四個選項，如果你原本在座標軸上畫了很精確的點《 X 這個角度會落在第四象限》，那把它
兩倍，可以看出這個角度仍在第四象限，意即它的正負號不會改變。

　　然而也有其他種想法，我是直接把sin 2X 用sin (A+B) = sinAcosB + sinBcosA，
推出sin 2X = 2sinXcosX，sin X是負，cos X是正，相乘為負。

　　第五個選項，看你第四個選項是怎麼算的，如果是用前者的算法，那第五個選項呼之欲出。
　　如果是像我一樣用後者，我就接著把cos 2X 的正負號也求出來，接著我就有sin 2X 和cos 2X
的正負可以來判斷 2X 這個角度在第幾象限了。

9.
考慮坐標平面上以 O(0,0) 、 A(3,0) 、 B (0, 4) 為頂點的三角形，令 C1、 C2 分別為 三角形OAB 的
外接圓、內切圓。請問下列哪些選項是正確的？
(1) C1 的半徑為 2
(2) C1 的圓心在直線 y = x 上
(3) C1 的圓心在直線 4 x + 3 y = 12 上
(4) C2 的圓心在直線 y = x 上
(5) C2 的圓心在直線 4 x + 3 y = 6 上

　　遇見時的想法：

　　連選項都還沒仔細看，就反射性地把C2這個內接圓的半徑給求了出來《底乘高除以周長，理由見底下》。
　　然後過了幾秒鐘後才想到，「直角三角形的外心會落在斜邊中點上」《事實上我也沒記很清楚
，只是有點印象這件事情，而稍作檢驗之後知道這的確是事實》。
　　接連找出外心圓半徑，內心圓半徑，也看出內心圓的半徑就是在這題中圓心的座標值。
　　把C1 、C2 的坐標求出來，帶進去選項給的直線方程式，看等式會不會成立，若成立就表示該點
落在那條線上。即可全部解出。

　　觀念：

　　首先，先在座標平面上畫出這三個點。
　　再來，請問，外接圓的圓心有什麼性質呢？內接圓的圓心有什麼性質呢？

　　如果對性質比較瞭解的，可以見得C1的圓心是此三角形的外心，而此三角形是直角三角形，其
外心會落在斜邊中點上。
　　《其為外心的理由是，C1 是通過 O , A , B 三點的圓，C1 的圓心到三個點的距離相等（皆等
於半徑），故其為三線段的中垂線交點（因為一個線段的中垂線上的任一點，到線段的兩端距離相同）》

　　《而直角三角形的外心在斜邊中點上的理由是，先畫出OA和OB的中垂線，這兩條中垂線的交點
即為外心 P，因為角AOB是直角，可以很輕易算出OP線段長度為「斜邊長乘以1/2」。那如果有一個
點，到 A , B 兩點距離皆為「斜邊長乘以1/2」，而 AB 線段即為斜邊，那這個點必然在 AB 線段
中點（才會到其端點的距離剛好是線段長度的一半）》

　　而C2的圓心是此三角形的內心。而此圓與三角形三邊相切，意即C2的圓心到三邊的距離等長。
　　《理由不詳述，內心的定義是三角形三條角平分線的交點，可以自己試試看。》

　　前置做完了。《只是稍微講講定義及一些性質，理想狀況是瞬間就會想到這些事情》
　　第一個選項，C1 的半徑為「斜邊長度的一半」《因為圓心在斜邊中點上》，等於 5/2

　　第二和第三個選項，C1 的圓心在三角形斜邊中點上，那其座標點為[(3,0)+(0,4)]/2
《兩座標中點，是其座標相加除以二，這對我來說是個很合理的，就像「兩個數字的平均是兩數相加
除以二」一樣》
　　把圓心座標帶進去那條線，看等式有沒有成立，就知道這個點在不在那條線上。

　　而第四和第五個選項，要找出C2 的圓心座標。由於「點 到 Y 軸的距離就是該點 X 軸的座標值」
以及「點到 X 軸的距離就是該點 Y 軸的座標值」《不了解可以畫圖觀察一下》

　　而在此三角形中，圓心到兩邊的距離即為「圓心到兩軸的距離」。《因為其兩邊在兩軸上》
　　《意思是說在此題中，此三角形的內心圓半徑即為其 X 與 Y 軸的座標值》

　　那C2 的半徑是多少呢？
　　由於其為直角三角形，可以輕易算出面積 = 6 ，而把三角形的三點與內心相連，可以看出它把
三角形區分成三個三角形，這三個三角形的底分別為原三角形的三邊，高皆為內心圓的半徑。

　　而這三個三角形的面積總和就是原本的三角形面積。

　　故可推得「周長乘以內接圓半徑除以２」等於面積。

　　推出內接圓半徑等於 1 ，推得C2 的圓心座標為(1,1)，那麼這個點在哪條線上就很明顯了。

10. 坐標平面中，向量w與向量v = (2, 5)互相垂直且等長。請問下列哪些選項是正確的？
(1) 向量w必為( 5 , -2 )或( -5 , 2 )
(2) 向量v + w與v - w等長
(3) 向量v + w與w的夾角可能為135度
(4) 若向量u = av + bw，其中, a b為實數，則向量u的長度為(a^2 + b^2)^1/2
(5) 若向量(1,0) = cv + dw，其中c,d 為實數，則c > 0

　　備註：《在此題中，我把向量上面的箭頭符號給省略，因為我打不出來，希望不會造成誤解。
待會的說明中，只有 v , w , u 三者是向量，其他的英文符號都是純量。若不能了解題意可見原
試題。》

　　看到 w 是與 v 互相垂直且等長的向量，又看到第一個選項，馬上就聯想到向量做為一條線
的方向向量時，可以比擬成它的斜率，然後又想到在畫垂直線時，「垂直線的斜率是原直線斜率
的倒數加一個負號」《意思是若原本直線斜率是 m ，那其垂直線的斜率為 -1/m》
　　若對向量與斜率的關係有點感覺，就能看出第一個選項是對的。

　　就算忘了這回事，也有其他辦法可以解出第一個選項。
　　直接去檢驗那兩個向量，符不符合題目的敘述，把 w 和 v 做內積，看結果是不是 0 《因為
「兩向量互相垂直」與「兩向量內積結果為零」是若且為若的關係，意思是若其中一個對，另個就
對；其中一個錯，另個就錯。舉例來說，「三角形三邊等長」”若且為若”「此三角形為正三角形」。》
　　然後計算出　w 的長度，看是不是和 v 一樣長，即可得出第一個選項的對錯。

　　第二個選項，既然 v 和 w 是垂直且等長的，而向量的加減在圖形上只要畫個平行四邊形或三
角形就能判斷，在腦中想像一下向量座標，可以理解 v + w 和 v - w 是等長的。

　　第三個選項， v + w 和 w 的夾角？
　　它的用詞說「可能」為 135度，是種很奇特的說法。意思是說如果我選取不一樣的 w ，
 v + w 與 我選取的w 的夾角會不同嗎？
　　《當然在此選哪個 w ，從圖型上來看，夾角都是一樣的。
　　　它只是要讓我們誤解，要讓我們不小心算到 v + ( 5 , -2 ) 與 ( -5 , 2 ) 的夾角（看出
算這個夾角的錯誤在哪了嗎？）》
　　稍微想像一下，因為 v 和 w 是「等長」的兩個向量， v + w 與 v 的夾角，和
 v + w 與 w 的夾角應該要一樣。
　　而 v 和 w 的夾角為 90度，故 v + w 與 w 的夾角應是 90/2=45度。
　　　　
　　第四個選項，看到後面計算長度，我心想：「要怎麼樣計算一個向量的長度呢？」
　　可以把向量內的值拿來平方相加後開根號，可是在此用這樣的方法，向量 u 的兩的座標值的數
字，感覺實在不容易拿來計算。

　　於是我想另個方法，利用「向量與自己內積會得到其長度平方」的概念。
　　《理由是， u 與 u 內積，會得到 |u|*|u|*cos(u與u的夾角)，因為兩個向量一樣，其夾角為
 0度，cos 0度 = 1 ，故 u 與 u 內積會得到 |u|^2，意即此向量長度的平方。》

　　那實際把 u 與 u 內積，把 u 換成 av + bw ，由於內積可以使用分配律，各項乘出來之後，
看出中間的「 v 與 w 內積 = 0 」《因為 v 與 w 垂直》，然後剩下前後的 a^2|v|^2 與 b^2|w|^2
　　此時已經大略可以看出第四個選項是錯的，把剛才的式子兩邊開根號，就得到 u 的長度了。

　　第五個選項，在座標平面上畫出 v 和 w 的向量，試想，如果 v 的係數 c 是負的，表示其方向
指向第三象限，而 w 與 v 垂直，有可能找出一個係數 d 使得 cv + dw = (1,0) 嗎？
　　《因為 dw 只能指向第二或第四象限，而用向量相加去看，怎麼看都不會變成 (1,0)，
 cv + dw 指向的方向，只可能是從 w 往 cv 的方向繞到 -w 的這半圓的方向。》

　　《請仔細想一下，真的對向量的概念了解的話，這件事情是很明顯的。》

11. 在坐標平面上，圓C 的圓心在原點且半徑為 2 ，已知 直線L 與 圓C 相交，請問 L 與下
列哪些圖形一定相交？
(1) x 軸
(2) y = (1/2)^x
(3) x^2 + y^2 = 3
(4) (x-2)^2 + y^2 = 16
(5) (x^2)/9 + (y^2)/4 = 1

　　直線L 與 圓C 相交，是怎麼相交的呢？它沒說。
　　問 L 和下列哪些圖形必然相交，意思就是我先把 圓C 給畫出來，在把底下的圖形也畫出
來，接著，「如果我能畫一條線通過 圓C ，卻不會通過底下選項的圖形，那就表示 直線L 可
以和 圓C 相交卻不和那個選項的圖形相交，那麼那個選項就不是 L 在通過 圓C 時必然相交的
圖形了」。

　　接著就在腦中想像圖形《要畫出來也是可以啦》。

　　第一個選項， x 軸，題目給的 圓C 是一個圓心在原點，半徑為 2 的圓，那我隨便找條和
 x 軸 平行又通過 圓C 的線《舉例來說，我可以找 y = 1 當作 線L ，這條線在 x 軸上方，
和 x 軸平行且其通過 圓C 》，那我就知道通過 圓C 的線不一定會通過 x 軸，於是第一個選項
就不能選。

　　第二個選項，稍微描點一下可以大略看出圖形的模樣，是一個 x 值負越大， y 值就越大，
 x 值正越大， y 值就越小，但又永遠不會小於 0 的圖形。
　　《我直到寫這篇文章的此刻，才注意到它比較明顯的性質，就是這個圖形畫出來，完全落在
 x 軸的上方。》

　　那我只要畫一條在 x 軸底下且和 x 軸平行的線，而且又通過 圓C 《舉例來說， y = -1 即
可》，那我就知道第二個選項不能選了。《再次強調，不能選的理由是「因為我找到了一條線通過
 圓C 卻不和選項中的圖形相交，表示一條和 圓C 相交的 直線L 不是一定會通過該圖形」》

　　第三個選項，畫出來之後是一個被 圓C 包含住，半徑比 圓C 還小《此圓半徑為根號３》的
圓，而且兩圓是同個圓心《也可以說同心圓》，那我能不能畫出一條直線，它通過 圓C 卻不與
裡面比較小的那個圓相交呢？
　　很明顯是可以的《舉例來說，我找一條和 圓C 相切的直線，這條直線就必然不會與 圓C 裡
面的比較小的那個圓相交了。》。所以第三個選項也不能選。

　　第四個選項，判斷一下它的圓心以及它的半徑，發現它把 圓C 整個包含了進去。
　　那不管我畫什麼直線與 圓C 相交，把這條線往兩端延長之後，必然都會穿過這個包含住
 圓C 的圖形《要不然就算挑到最邊邊與 圓C 相切的情形，它至少也與第四個選項的大圓相切》
，所以第四個選項要選，因為我不管怎麼樣畫 直線L ，都必然和第四個選項的大圓相交。

　　第五個選項，它是橢圓。《如果你看不出它是一個橢圓，就去複習一下那個單元吧。》
　　然後簡略地描繪一下，亦會發現它把整個 圓C 給包含住。
　　那如同第四個選項的理由，第五個選項要選。