我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　－－－－－２０２３／０８／２４更新－－－－－

　　看到以前有人發過的文章，想留回應但留不上去，轉貼到這裡，也可以當成我現在對這個問題的結論。

　　精確來說這個問題的核心不是解和根有沒有區別，而是「什麼是重根？」

　　留言：

　　老師您好，對於重根的說明我略有不同的看法。

　　無論在國內外，方程式的解和根的意義都是相同的－－「代入後可以使等式成立的數」。

　　但只根據這個定義，是無法說明重根的。代數基本定理所說的是，如果重根視為多個根的話，一元n次方程式有n個根。

　　這或許可以從代數基本定理原本的形式來說，任意一個一元n次方程式，必然含有至少一個根，而每次根據這個根提出一次因式，方程式的次數就減少1，在這個過程中一共可以找出n次根(第n個是最後剩下的一元一次)，分解成n個一次因式相乘，因此說它有n個根。

　　而在這個思考過程中，每次找出的根即使和之前的重複，也仍算做1次。此即重根視為多個根的意思。

　　也就是說，當我們談重根的時候，我們已經不僅是在談論方程式的解，而是對應到它作為多項式分解成的數個一次因式。

　　在高等數學中或許有必要拓寬重根的意義到非多項式的情況，但印象中都還是以跟多項式的結果對照來定義的？（例如以該點微分後仍含有該根）。

　　－－－－－更新結束－－－－－

　　這篇文章在談的問題如「方程式的根是什麼」、「方程式的解和根有什麼差別」、「重根是一個根還是兩個根」、一元二次方程式有幾個解」、「一元二次方程式有幾個根」諸如此類的定義問題。要說的話或許也不是那麼重要的數學問題，只是定義問題。

　　我先講結論，結論就是－－不知道／不確定。

　　我心中有定見，我問過的不少人心中也有類似的定見，但是不同群人有不一樣的定見，網路上也找得到各種不同的說法，甚至各種國內國外的教學平台，定義的都不一樣，所以我只能說結論是不知道。

　　那我底下會整理讓我說出「不知道」的各地資料。

　　也會整理出一些即使大家沒有共同的認知，但是卻有共識的部分。

　　在這裡還要備註一下，如果你是國中生，底下提到複數根（虛根）、實數根的時候你可以似懂非懂就好，大致上可以把複數根想成將一元二次方程式判別式小於0的時候（根號裡為負的時候）一樣視為有解，將這樣的解稱為複數根（虛根）。

　　首先是台灣的《十二年國教數學領域課程手冊》（可用此關鍵字google下載）中寫道：

　　「一般而言，給定一元二次方程式，若有實際的數，將方程式中的未知數代入此數時，等式恆成立，此數稱為此方程式的「解」（亦稱為「根」）。」

　　這也是絕大多數參考書的寫法，也就是解亦稱為根（又或者說「一元二次方程式的解亦稱為根」），那這是不是表示「解」和「根」是一樣的呢？

　　來看其他段落的講法：

　　（A-8-7　一元二次方程式的解法與應用）給定一元二次方程式……當判別式為0，方程式只有一解（重根）。

　　（A-12乙-2 方程式的虛根）三次函數的圖形對應到其根的情況分別為：一實根、三實根（其中包含一個二重根）、三重根。（當然還有三相異根的情況，但這裡的舉例中沒有提到）
　　「代數基本定理重點在了解方程式根的個數與方程式次數的關係，可透過三次方程式的實例，利用因式分解，講解其定理意涵。」

　　在這段講法中，有兩個講法是幾乎所有人（無論國內國外）基本上都有的共識，分別是：

　　１．當判別式為0時，此方程式的解為重根。

　　２．代數基本定理推導後可知如果考慮「虛根」與「重根計算為多個根」的話，則方程式的次數跟根的個數是一樣的。

　　這第２點其實帶出了一個有趣的觀點，何謂「重根計算為多個根」？東西要＂重複＂，就是要有不只一個才能＂重複＂，那既然原本算的時候就知道不只一個，那又為何要強調重根計算為多個根？

　　（這段是我讀了很多資料後的感受，如果你現在讀不懂在講什麼也沒關係，就先往下讀（？））

　　目前看起來，根據課綱課程手冊的寫法，它的解和根的意義是不一樣的，一元二次方程式重根的時候是「１個解」，而一元三次方程式的解有「３個實根（包含二重根）」，從後者會得出二重根算作２個根。

　　雖然如果我們這樣觀察的話，會認為方程式的解和根的意思不一樣，畢竟一個解可以是兩個根重根，但課綱裡並沒有說明什麼是根，它唯一說明「根」是什麼的地方就是剛才那句－－方程式的「解」（亦稱為「根」）。

　　（這裡我要但書一下，我所參考的這份課程手冊其實裡面不嚴謹、彼此矛盾的地方也是有的，所以也許有人也能從中擷取出不一樣的論點，我只是盡量整體而論）

　　要說的話，那句話也不能算錯，畢竟它的一個解確實也是它的一個根，而它的一個根確實也是它的一個解，正著講或反著講都對，但是解和根的意思卻不一樣（？），讓我想看看怎麼用現實生活的情境來比喻XD

　　也許可以用「人／稱呼」的關係來比喻：

　　我是黃紹東；黃紹東是我

　　我是東東；東東是我

　　但「一個人的稱呼」（有很多個）和「這個人」（只有一個）的意思並不一樣。

　　還是說「生日」來比喻：

　　我的生日是五月九號；五月九號是我的生日。

　　我的生日只有一天，但有很多個五月九號（一年一個）。

　　（有人有更好的比喻歡迎提出，我黔驢技窮了ＱＱ。）

　　雖然課綱裡沒有解釋「根」是什麼，但有說明「解」是什麼，而這個定義應該也是大家一致認同的。　　

　　「若有一個實際的數值，使得當我們將一元一次方程式中的未知數替換成此一實際數值時，等式成立，我們便將此一實際數值稱做為此方程式的「解」。」

　　課綱的部分就到這裡。

　　雖然我也想談現在１０８三大出版社課本的部分，但手邊沒有資料可以提供，只能說說我目前為止觀察到的印象（記憶），如果與實際版本有出入那煩請更正我。

　　目前三大出版社（康軒、翰林、南一）的講法都是採取了課綱的「解亦稱為根」的講法，也都沒有解釋什麼是「根」，並且有些「真的把解當成根來說」，也就是說，他們會寫出「X^2－2X＋1＝0有兩個解1和1」這樣的敘述（好像只有一家沒有這樣寫吧）。

　　好現在三大出版社的寫法（如果你暫且相信我的論述，你也可以抱持懷疑自己去查閱）已經和課綱的課程手冊不一樣了，接著我們來看看英語體系的教學平台怎麼教。

　　以「quadratic equation how many root」為關鍵字google搜尋：

　　維基百科：

　　「 If there is only one solution, one says that it is a double root. 」

　　（翻譯：如果只有一個解（solution），就稱之為一個重根（root））

　　那麼＂一個重根＂是兩個根還是一個根呢？

　　下面一段的說法：

　　「If the discriminant is zero, then there is exactly one real root, sometimes called a repeated or double root.」

　　（翻譯：若判別式為0，則此方程式恰有一個實根，有時也稱為一個重複的根或重根。)

　　所以其實在英文的教學中，解和根的意思還是一樣的，而且重根視為一個根。

　　這當然不是只讀了維基就得出這樣的結論，我看的絕大多數英文網頁的教法都是如此（而中文網頁則每種講法都很多）。

　　以下列舉一些教學這個知識的英文網頁，有興趣的人可以自行查閱（或是用我剛才那段關鍵字去搜尋相關的文章）：

　　某教學網頁：下方的範例提到只有一個實根。

　　可汗學院的教學影片：從2:00開始，提到是一個實根（one real root）。

　　也是有講兩個相同的實根的教學影片，不過是影片裡這樣講，底下同個帳號的留言就不一樣了：「A quadratic function is graphically represented by a parabola with vertex located at the origin, below the x-axis, or above the x-axis. Therefore, a quadratic function may have one, two, or zero roots.」（不然也可能它們的root在這裡還有不同的含意，例如圖形上的交點）

　　那英文裡怎麼說明代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）所延伸出來的根與次數的關係呢？

　　根據維基百科：every non-zero, single-variable, degree n polynomial with complex coefficients has, counted with multiplicity, exactly n complex roots.

　　（翻譯：每個非0，單變數，係數為複數且次數為n的多項式，計算重根重複的次數，有恰好ｎ個複數根。）

　　那問題又來了，到底原本所計算出的＂重根＂又是什麼東西重複了呢？如果不是原本就算出了兩個，又怎麼能被算出重複了幾次呢？

　　到底我們該怎麼定義＂根＂？

　　整理一下我所觀察到的情況：

　　中文教學中各種教法都有，其中以「解和根不一樣（但不說出哪裡不一樣），判別式為0則為一解（兩根相同）」為大宗；而三大出版社則以解和根一樣，但重根算兩個解為主。

　　而英文教學中則以「解和根一樣，判別式為0則為一解（一個重根）」為主，但講到代數基本定理時會強調重根的次數要計算多次。

　　或許我們可以這樣想，代數基本定理談的是「任何一個一元複係數多項式方程都至少有一個複數根。」（參考中文維基百科），這表示一個一元ｎ次方程式，在移項讓等號一邊為０後，另一邊可以提出一個一次的因式（作因式分解），這個過程中，每次一個一個提出來的因式，其對應的根稱為這個方程式的一個根。

　　而因為這個方程式是一元ｎ次，所以左邊可以分解成ｎ個一元一次式相乘，如X^2＋3X＋2＝(X+2)(X+1)，每個一元一次式對應到一個根，所以就說有ｎ個根，這ｎ個根中有相同的根，才有重根可言。

　　坦白說寫到這裡我覺得國中生要能看懂應該是滿困難的，或許這也又是為什麼大家不解釋的原因吧（？）。

　　如果直接去搜尋「解和根有什麼不同」，會查到的論述通常是說「解是在講方程式的，根是在講多項式、函數的，但大家已經混用了」，但這樣的說明並不能區分這兩者在談論數量的時候有什麼不同。

　　我們有「根與係數關係」這樣的詞彙，我們說「ax^2+bx+c=0兩根的乘積是c/a」，那重根算不算兩根？在這樣的情況下必須算，總不能說只有一個根吧。

　　但大家不定義什麼是根，只說「解亦稱為根」，這就一直是個糊塗的概念，大多數人也大概就是看情況用解，看情況用根，在這段過程中學習的人漸漸地建立出自己的信念，也就是解和根有什麼不同。

　　那如果最終要讓我想一個國中生的程度下，可以說出來的根的定義（但又不用完整解釋），可能是用如下的說法吧：

　　什麼是解：「若有一個實際的數值，使得當我們將方程式中的未知數替換成此一實際數值時，等式成立，我們便將此一實際數值稱做為此方程式的「解」。」

　　什麼是根：「若一個一元二次方程式可改寫為(ax+b)(cx+d)=0的形式，則分別使這兩個一次式為0的解（即ax+b=0的解和cx+d=0的解），稱為此一元二次方程式的兩個根，即此一元二次方程式的兩根為-b/a和-d/c；當這兩根相同時，此方程式僅有一解，稱為重根。」

　　再簡短一點：「若一元二次方程式可改寫為(ax+b)(cx+d)=0，則使ax+b=0的解x=-b/a，與cx+d=0的解x=-d/c，稱為此一元二次方程式的兩個根，此兩根均為此方程式的解。若這兩根相同則稱為重根。」

　　２０２１／０５／２３　更新

　　這篇文章有貼在FB的社團：數學愛好者，裡面有得到我覺得有意思的回應。

　　連結

　　這樣也有了一種有一致性的講法，也就是解和根是一樣的，而重根就是一個解，一個根，只是我們額外定義何謂＂重根＂（不管是透過因式分解還是透過微分）。