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　　國小跟國中都有提過如何將算式去括號，而關於去括號法則的理由或說明，網路上（或者翻遍各種參考書）實在是沒有找到一個足夠好（嚴謹的、有道理的）答案。

　　這篇文章就來談談這件事。

　　首先大多數地方能找到的去括號法則如下（國中數學的講法）：

　　＋（ａ＋ｂ）＝ａ＋ｂ

　　＋（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ

　　－（ａ＋ｂ）＝－ａ－ｂ

　　－（ａ－ｂ）＝－ａ＋ｂ

　　然後就結論道：

　　括號前面為「＋」號時，去括號時括號裡不變號；

　　括號前面為「－」號時，去括號時括號裡要變號。

　　（小試身手一下，依據這個規則，請問－（－ａ＋ｂ）去括號後為何？）

　　然後題目會有：

　　「化簡：－（ｘ＋２）＝？」

　　「化簡：１－（ｘ＋２）＝？」

　　好像這兩件事情都是同樣的去括號似的，但是並不是。

　　前者括號左側的「－」唸作「負」，後者括號左側的「－」唸作「減」，這兩者的含意確實不同，但在數學良好的結構下，大多數時候混用也不會因此算錯。（可參考〈為什麼負負得正？〉）

　　那網路上就有很多人發問了，去括號法則為什麼成立？

　　能看到最好的解答如下：

　　－－－－－

　　去括號法則其實是乘法分配律的應用

　　如１－（ｘ＋１）可以看成１＋（－１）（ｘ＋１），然後後面分配律乘進去

　　得到１＋（－ｘ）＋（－１）＝１－ｘ－１

　　－－－－－

　　這個說明在實際應用上是正確的，這樣算會對，但這樣的講法忽略了一個點。

　　那就是做分配律其實並不會把括號去掉，實際上做分配律的結果應如下：

　　１＋（－１）（ｘ＋１）＝１＋［（－１）ｘ＋（－１）］

　　　　　　　　　　　　　＝１＋［－ｘ－１］

　　到了這一步，還是得把這個括號去掉，這時候你還是得說，因為括號前面是「＋」，所以去掉括號時不變號。

　　（覺得分配律應該就包含將括號去掉的人，請思考這個例子：１＋２（ｘ＋１）（ｘ＋２）。）

　　所以我個人不認為「去括號法則」是「分配律」的應用，不過我們可以說，減法的去括號法則可利用化減法為加法來理解。

　　我們終究還是要說明「去括號法則」的理由，至少要說明加法時的去括號。

　　回到國小階段，國小也有去括號法則可以使用（但當然是有點侷限的版本），但從這個觀點就能說明去括號法則的原因。

　　以一個式子為例：６＋（４＋２）

　　括號表示括號裡的部分需要先計算，所以這個算式的意思唸成中文可以是：

　　「６加上一個數，這個數是４和２這兩個數字的和」

　　而這等於６＋４＋２

　　原因是，一個數字加上另外兩個數字的和，等於依序加上另外兩個數

　　以日常生活的情境來說，你原有６顆蘋果，先獲得４顆後再獲得２顆後有的蘋果數量，

　　跟你一次獲得（４＋２）顆後有的數量相同。

　　而另個例子：８－（２＋３）

　　唸起來是：

　　「８減去一個數，這個數是２和３這兩個數字的和」

　　而這等於８－２－３

　　原因是，一個數字減去另外兩個數字的和，等於依序減去另外兩個數

　　以日常生活的情境來說，你原有８顆蘋果，先吃掉２顆後再吃掉３顆後剩餘的蘋果數量，

　　跟你一次吃掉（２＋３）顆後剩餘的數量相同。

　　在國小，這個法則能處理的情況並不多，但基本上可以歸納出兩句話：

　　「加上多個數的和，跟依序加上這些數一樣」

　　「減去多個數的和，跟依序減去這些數一樣」

　　你只要接受這兩句話，再加上接受國中「負數」的觀念（也就是負數也是數，運算規則與正數無異），就可以理解國中版本的去括號法則了。

　　首先談１＋（ｘ－１）

　　由我們對負數的瞭解，「減去某個數」其實和「加上其相反數」是一樣的，所以我們可以將式子改寫為：

　　１＋［ｘ＋（－１）］

　　後面括號裡面就變成了「多個數的和」，沿用剛才國小的說法——

　　「加上多個數的和，跟依序加上這些數一樣」

　　因此這就等於：

　　１加ｘ加（－１）

　　我特別寫成中文是想表示，這兩個「加」跟前面式子中的加號其實沒有關連，這裡只是依序加上括號裡的兩個數而已，而那兩個數分別是ｘ跟（－１），因此這就等於：

　　１＋ｘ＋（－１）＝１＋ｘ－１

　　再來談１－（ｘ－１）

　　同樣地，式子可以改寫為：

　　１－［ｘ＋（－１）］

　　沿用剛才國小的說法——「減去多個數的和，跟依序減去這些數一樣」

　　因此得到：

　　１減ｘ減（－１）

　　即為：

　　１－ｘ－（－１）＝１－ｘ＋１

　　所以為什麼括號前面是「加」時，去掉括號不會變號，可以想成括號裡面原本是多個數相加，去掉括號就是改成依序加上每一個，然後再將原本弄出來的性質符號（負號）跟運算符號合併回去（「加負」變成「減」）。

　　而前面是「減」時，去掉括號會變號，同樣是括號裡原本是多個數相加，去掉括號改成依序減去每一個，再將原本弄出來的性質符號（負號）跟運算符號合併回去（「減負」變成「加」）。

　　－－－－－

　　題外話，我突然想到也可以用加法的結合律來說明為什麼加上括號可以直接將括號拿掉，即：

　　ａ＋（ｂ＋ｃ）＝（ａ＋ｂ）＋ｃ

　　而原本計算順序就是由左而右，有括號跟沒括號一樣，所以這也等於ａ＋ｂ＋ｃ

　　－－－－－

　　現在回到去括號法則裡最原本的形式：－（ａ＋ｂ）

　　注意前面的「－」是「負」，跟前面談的「減」是不一樣的（雖然運算起來感覺一樣）。

　　如果用分配律來談，會說這其實是省略了１沒寫（如同１ｘ省略１寫成ｘ一樣），

　　原式應該是（－１）（ａ＋ｂ）

　　然後分配律得到：（－１）ａ＋（－１）ｂ＝－ａ－ｂ

　　同樣地，這樣理解的運算結果並沒有錯，以這個想法去做任何題目也不會錯，

　　因為－（ａ＋ｂ）確實等於（－１）（ａ＋ｂ）

　　我特別強調「確實等於」的意思是，這跟２＋３確實等於４＋１是同樣的意思，但兩個式子的值相等，並不表示兩個式子是同樣的表達，就像「－３＝（－１）‧３」一樣。

　　而在不談分配律的情況下，也可以用「相反數」來說明這件事。

　　在一個數的前面加上負號，表示其相反數，所以－（ａ＋ｂ）是（ａ＋ｂ）的相反數。

　　而「兩個數字和的相反數，會等於兩個數字各自相反數的和」（這件事情可以用分配律說明，但也可以列出兩數正負情況的四種可能來討論，得出相同的結論），所以：

　　－（ａ＋ｂ）＝（－ａ）＋（－ｂ）＝－ａ－ｂ

　　而（－１）（ａ＋ｂ）的值為什麼與－（ａ＋ｂ）相等，嚴格來說也不是把１省略的簡記，

　　只是因為「一個數字乘上負１，會得到其相反數」。

　　既然如此，那－２（ｘ＋１）是不是指２（ｘ＋１）的相反數呢？還是指（－２）（ｘ＋１）？

　　當然這兩者的值是相同的，但就我翻遍各個講解分配律的地方，對於這個式子的看法都是後者。

　　也就是－２（ｘ＋１）是表示（－２）（ｘ＋１），而非２（ｘ＋１）的相反數。

　　如果你google「-2(x+1)」，它會顯示的式子是(‑2)*​(x+​1)

　　而如果你google「-(x+1)」，它會顯示的就是-(x+1)

　　－－－－－２０２２／１０／０７更新－－－－－

　　以我現在的觀點會認為，省略的乘號本身也比四則運算更優先。

　　例如８／２ａ是８／（２ａ），而非８／２×ａ

　　依照這個邏輯的話，或許要解讀成負號比省略後的乘號還要更加優先？

　　－－－－－２０２２／１０／０７更新結束－－－－－

　　這主要的原因是我們規定了數學符號的運算順序（可以減少括號的使用），常見的運算優先順序如下：

　　１。括號

　　２。指數

　　３。負號（注意這跟減號的優先順序不同）

　　４。乘除號

　　５。加減號

　　（４、５也就是常說的「先乘除後加減」）

　　而同個優先等級的運算順序，就由左到右，如：

　　１＋２＋３其實是１先加２，結果在加３

　　如果我們用括號來強調這個式子的運算優先順序，則為：

　　（１＋２）＋３

　　所以－２（ｘ＋１），我們知道－２與括號省略的是「乘號」，而「負號」比「乘號」優先，所以實際上是先得到（－２），再將其與（ｘ＋１）相乘。

　　兜了這麼大一圈，我們終於回到了國中最後想教你關於去括號法則跟分配律的事情：

　　１－２（ｙ＋３）

　　洋洋灑灑談了那麼多說明，終於明白為什麼國中教材不把這些東西寫進去（誤），仔細去解釋很難解釋，而且國中的孩子也未必聽得懂。然後「負」的情況跟「減」的情況又不一樣，但總之……它們看起來都一樣，法則套下去也都是對的，即使你不明白自己在幹嘛。

　　如果你延續國小去括號的概念，只是多了分配律的話，這個式子化簡的過程如下：

　　１－２（ｙ＋３）＝１－（２ｙ＋２×３）

　　　　　　　　　　＝１－２ｙ－２×３

　　　　　　　　　　＝１－２ｙ－６

　　但國中最終不會希望你這樣做，因為這樣做有點慢，而且到後面乘法公式的時候會更慢。

　　國中最終希望你把前面的「減２」當成「負２」，然後寫算式分配進去的時候，心裡這樣唸著：「１，負２乘以ｙ，是減２ｙ，負２乘以３，是減２乘３」

　　於是你就會直接寫出１－２ｙ－２×３

　　那為什麼可以這樣想呢？這裡把這個想法完整的算式寫出來，其實就是把所有的減法都看成加上其相反數，而我們知道一個數乘上負１即為其相反數。

　　　１－２（ｙ＋３）

　　＝１＋（－１）×２（ｙ＋３）　←將減一數改為加上其相反數，即為乘以負１

　　＝１＋（－２）（ｙ＋３）　←將負１與２相乘，得負２（原本的減２就是在此變為了負２）

　　＝１＋［（－２）×ｙ＋（－２）×３］　←將負２以分配律乘進去（在腦海裡想著這句話）

　　＝１＋（－２）×ｙ＋（－２）×３　←括號前為加法時將括號去掉（在腦海裡計算正負號結果）

　　＝１－２ｙ　　　－２×３　←各項加號配合性質符號變號，且省略乘號（手中直接寫出）

　　最後三行的紅字，才是國中教代數符號的去括號法則跟分配律最後想讓你學會使用的方法。

　　而一旦你接受了這個方法，也就是看起來將「加減」號跟「正負」號混用的方法，那麼上面談的所有情況都會快很多。

　　１－２（－ｙ＋５）

　　腦中想「１，將負２分配進去，負２乘以負ｙ，是加２ｙ，負２乘以５，是減２乘以５」

　　手寫「１＋２ｙ－２×５」

　　或是１－（ｘ＋５）你不想用去括號法則，想看成是省略了１的１－１（ｘ＋５）也可以。

　　腦中想「１，將負１分配進去，負１乘以ｘ，是減ｘ，負１乘以５，是減５」

　　手寫「１－ｘ－５」

　　乘法公式也是如此：

　　（２＋３）（－ｙ－ｚ）

　　腦中想「２乘以負ｙ，是負２ｙ（因為是第一項所以沒有變成減），２乘以負ｚ，是減２ｚ，３乘以負ｙ，是減３ｙ，３乘以負ｚ，是減３ｚ」

　　手寫「－２ｙ－２ｚ－３ｙ－３ｚ」

　　最後回來看一開始的小試身手的例子。

　　－（－ａ＋ｂ）

　　規則不是說括號前面為「－」的時候，去括號裡面要變號嗎？

　　所以去括號後是－＋ａ－ｂ＝－ａ－ｂ嗎？

　　答案不是，去括號後是ａ－ｂ

　　所以這個法則其實並不是單單變號就好了，嚴格來說，我是指以操作的正確性來說（不管你懂不懂為什麼結果會對），這個法則可以說成——

　　去括號時若前面為「－」，則拿掉括號後，除了括號裡的第一項以外，後面各項間的運算符號都要變號。

　　或者另一種講法——

　　去括號時若前面為「－」，則拿掉括號時要連前面的「－」一同拿掉，而括號裡各項的性質符號都要變號。

　　至於拿掉前面的「－」以後運算符號怎麼辦，就是看括號裡第一項如果變負就是減，如果變正就是加，

　　例如：

　　　１－（－２＋３）

　　＝１　　＋２＋（－３）

　　＝１＋２－３

　　再例如：

　　　１－（２＋３）

　　＝１　　－２＋（－３）

　　＝１－２－３

　　而當括號前面帶有數字倍數時，就又不會用這個去括號法則來談了，而會用上述將加減看成正負數字乘進去的方法。

　　總之就是個兩難。

　　不帶數字倍數的，有國小直觀理解的作法，講當成負１乘進去又太麻煩；

　　帶數字倍數的，先分配律將數字乘進去後再用去括號法則又嫌太慢，難以類推後面計算的技巧。