首先先澄清一下標題，標題的意思並不是這樣做的結果會是錯的，而是指＂如果一個國中學生在考試或作業中這樣做，他可能會被打錯＂。
簡短說明一下問題背景，我在補習班做教材時做到尺規作圖的單元，現行國中數學的垂線作圖作法A如下：
題目：已知線段AB以及線外一點P，求利用尺規作圖，作線段AB過P點的垂線
作法：
步驟一，以P點為圓心，適當長度為半徑畫弧交線段AB於R、S兩點
步驟二，取大於二分之一線段RS的長度為半徑，分別以R、S兩點為圓心於P點異側畫弧，兩弧交於N點
步驟三，將P、N兩點連線，即為所求。
需要搭配圖示的可直接參考此網站的動畫。
而問題的引發點在於，如果一個學生在作業或考試中，以下述的作法B作圖，給不給對：
步驟一，以P點為圓心，適當長度為半徑畫弧交線段AB於R、S兩點
步驟二，取大於二分之一線段RS的長度為半徑，分別以R、S兩點為圓心畫弧交於M、N兩點
步驟三，將M、N兩點連線，即為所求。
（底下的紅線與虛線純粹是強調學生連的是M、N而非P、N，不是表示學生只會畫出M、N。學生是當然有將M、N連線延長通過P點）
而這個問題引發了討論。
我個人的觀點是傾向給對，而與之相對的另一種說法是給錯，並且據聞「給錯」是「（專業的）國中數學老師的共識」。
我原本使用的說法是「由於已知P點會在中垂線上，故可以只取一個交點就好」，但這樣的說法並沒有排除學生取兩交點的可能性，所以我老闆提議或許也可以補上「不能作Ｍ、Ｎ兩點連線來得出結果」這件事情，原因是這是共識。
但要怎麼補上這個論述？我需要知道這個＂共識＂的依據何在（畢竟我是傾向＂可以＂的立場）。
底下我會寫出我理解的「給錯」觀點，雖然可能會有點偏頗，但我盡力表達。
首先當問題是「求用尺規作圖作線段AB過P點的垂線」時，
我們都有共識「如果學生是將P、N兩點連線來作圖，則他不需要加註任何文字說明，算對。」
所以有差異的地方在於「如果學生是將M、N兩點連線來作圖，他沒有加註任何文字說明，算對還算錯？」
首先先說明我的立場，依據情況的不同，最極端的想法是：
「即使學生連的M、N直線沒有通過P點（因為作圖誤差的關係，畢竟我們都知道它必然會過P點），也算他對，頂多在旁邊補上「圖畫精準點！」提醒他。」
而最貼近中立的想法是：
「學生連的M、N直線通過了P點，算他對，或是不算他對也不算他錯，在旁邊打上「？」告知他需要額外來跟我說明他的想法，才能決定他的對錯。」
而認為「算錯」的立場，依據情況的不同，最極端的想法可能是：
「只要學生作出M、N連線，無論圖形上有沒有通過P點，都算錯。」
而最貼近中立的想法是：
「若學生作的M、N連線通過了P點，仍算他錯，除非學生主動來說明他的想法，證實他確實瞭解，則改成給他對。」
底下接著來談＂算錯＂的各種理由，以及我對該理由感到困惑的地方。B是我的想法，A是給錯論點。
底下提及的各種A的論點都是我可以理解的、有些道理的，讀者可以自行參考取用，不管你是想說服他人或是想被說服。
（我不會提及「因為我這樣教，所以你沒這樣做就是錯。」的論點。）
－－－－－
A：「將M、N連線說它通過P點，是違反作圖公法的，作圖公法只說兩點可以連成一線，並沒有說可以三點共線。」
B：「為什麼需要說明這條線通過P點？如同作圖方法A也沒有說明為什麼這條線會是垂線，如果不需要論證，那麼作法B中應該也無須論證這條線通過P點。」
A：「由於作圖方法A可以從作圖過程中得知P、N會是垂線，所以不需要加額外的文字說明。」
B：「作法B同樣可以從圖形中看到「等腰三角形底邊的中垂線會過其頂點」這件事情來看出會通過P點？」
A：「不是這樣的，作法A中可以看出來是基於作圖公法／中垂線作圖的方式來得出的，所以無須論證垂直。但等腰三角形底邊的中垂線會過其頂點並不是作圖公法，也不是已學過的作圖方式，所以需要額外說明。」
B：「所以意思是，因為作法A可以從作圖過程來得出垂直，所以可以接受不寫說明；而作法B難以從作圖過程中得知M、N兩點連線會通過P點，所以需要額外的文字說明？」
這個論點大概是這樣，簡言之是「由於作圖本身難以表達其作圖正確性，所以需要額外的文字說明才能算對」，我們後面還有額外討論其他的情況，如果你接受這個「給錯」的論點，亦可以思考看看「如果今天是作點在線上的垂線作圖，作圖過程是如何說明結果會垂直的」
－－－－－
A：「作法A中的這兩線有沒有垂直，跟作法B中的M、N、P三點會不會共線，是不可以同等考量的問題。」
B：「為什麼？（其實並沒有很明確的結論，底下是我個人盡可能腦補去貼近）」
A：「用作法A最後作出了P、N兩點連線，垂直不垂直可以之後再去論證，不需在作圖過程中說明；但作法B最後將M、N連線時，實際圖形上它可能通過或沒通過（因為作圖誤差）P點，如果學生畫它通過，就必須說明為什麼會通過。」
B：「你的意思有點像是，作法A作完後的圖形，有沒有垂直不知道（作圖誤差），但這件事情學生之後可以從作出來的圖來論證，這個論證可以讓人理解為何夾角沒有垂直純粹是作圖誤差；但作法B作完的圖形，學生＂沒有辦法＂藉由這個圖形來說明M、N連線會通過P點。因為畫出來的圖視覺上很明顯可以看見這條線有沒有過P點，要是圖形沒有過P點的話（作圖誤差），他沒有辦法從圖形上去論證它會通過P點。所以他在作出這個結果前就必須說明，否則他可能無法說明。」
這個論點的重點在於，作出來的線會不會垂直線段AB，跟作出來的線會不會通過P點是不可以同等比較的事情，坦白說我自己也是有一點這樣的直覺（認為兩者不是同等級的事情），但沒辦法說清楚到底是哪裡不同。
畢竟理論上我也可以說「我無須＂知道＂M、N連線會通過P點，也無關實際作圖有沒有通過P點，我之後還是能驗證M、N連線會是過P點的垂線。」這句話荒謬一點地就是說「即使我不知道P、M、N三點共線，我也可以說明M、N連線會是過P點的垂線。」
－－－－－
A：「打錯並不是表示認為這個作法的結果有錯，而是認為學生這樣作可能表示他並沒有懂。」
B：「為什麼？作圖A的作法就表示他懂嗎？」
A：「作圖A中的作圖痕跡，可以看出學生所作的是一個箏形PRNS，而P、N連線是此箏形的對角線，所以與線段RS垂直；但作圖B的作圖痕跡，學生所作的是一個菱形MRNS，M、N連線是此菱形的對角線，以這樣的角度來看，我們不能確認學生知道這條線會通過上面的點P，他可能只是誤以為作菱形對角線就對了，作出來的結果只是剛好通過而已，就覺得是對的了，所以他必須額外說明。」
B：「但作圖B的作圖痕跡也可以看成是，學生所作的是等腰三角形PRS，由於他知道等腰三角形底邊的中垂線會通過其頂點，所以他接著利用中垂線作圖，作線段RS的中垂線，最後連M、N兩點。這樣的想法不就表示他懂嗎？」
A：「但是作圖過程中＂無法＂看出學生＂是不是＂基於這樣的想法作圖，他也有可能是有所誤解才那樣作圖，畢竟痕跡只能看出一個等腰三角形跟一個菱形，解讀方式有可能不同；而作圖A中則比較沒有誤解學生意圖的可能，所以作圖A可以看出他是懂的，而作圖B我們無法判斷，所以作圖B給錯，要學生額外說明，我們才能知道它到底懂不懂。」
姑且不論＂等腰三角形底邊的中垂線會通過其頂點＂這個知識學生能不能使用，也就是說這跟＂箏形的對角線互相垂直＂是不是同個層級的事情。
這個論點的重點在於，老師需要確知學生懂不懂，如果作圖痕跡有較多的解釋方式，考慮到其他可能，老師不能直接為學生斷定「他是因為懂了才使用這種方法」給他對，因為他可能其實不懂，只是隨便套幾個作圖方式做個看起來很像的東西出來。所以給錯，要求他額外說明他的理由。
這個論點在實際教學上應該是很確實的理由，不過同樣地，如果你認同這個論點，可以想想「P在線上時的垂線作圖痕跡要如何解讀」（步驟請參考此網站），可能的解讀方式是「等腰三角形的頂點N，跟底邊的中點P連線，會是此等腰三角形的對稱軸，所以會垂直底邊」；而如果學生是取兩交點M、N連線，這個作圖痕跡似乎只可能理解成是菱形MRNS的對角線，而菱形的對角線會互相垂直平分，由於P是線段RS的中點，所以這條對角線會通過P點。這樣論述的話，這個作圖痕跡好像足以說明他懂了。那這麼作會給他對嗎？這個作圖痕跡已經很足以說明這三點共線了。
－－－－－
（底下這個是比較傾向是我個人的意見，或個人的解讀，但寫成問答形式）
A：「教尺規作圖不只是要教理論證明，也是要建立他的幾何直覺，尺規作圖是一種媒介，我們要教他如何盡可能地善用這個工具。作法A的作圖誤差比較小，比較不明顯；作法B的作圖誤差比較大，要是M、N連線沒過P點，會很明顯。」
B：「意思是，尺規作圖的圖只是輔助，我們教他尺規作圖的重點是希望他能懂得如何使用這個工具來輔助他獲取、驗證知識，因此我們要教的不只是＂理論的正確性＂，也要教＂怎麼樣作圖比較好＂？」
A：「作法A中，作出的線至少會通過P點，垂直可能有誤差；而作法B中，作出的線卻可能因作圖誤差導致沒通過P點，而垂直同樣有誤差。我們應當要教學生一種＂比較不容易有誤差＂的作圖方法，如果任憑學生使用作法B養成了習慣，這會導致他之後難以透過尺規作圖來學習、驗證知識，他這樣畫圖要是有條該過某點的線，畫出來卻沒過，他就沒辦法藉此圖形來學習或證明。」
這個論點是考慮實際作圖的用意，如同柏拉圖的意思，尺規只是腦海中圓和直線的對照，現實中的東西都不精確，只是可以藉以參考，讓腦袋理解。所以如果我們真的要作圖的話，這個＂藉以參考＂圖當然不能錯的太離譜，夾角垂直跟88度，視覺上基本看不出來，大多數情況下不影響腦袋的理解；但一條線該過一個點卻沒過，與之差0.2公分，這就太難讓腦袋接受了。腦袋可以腦補一個角成90度，但難以腦補一個看起來沒通過點的線實際上有通過該點。
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A：「理論上，作法A跟作法B都需要說明。但為什麼當學生使用作法A時無須說明，是因為作法A是我們教給他的，是他學會的東西，他用出了我們教他的東西，表示他學會了，無須解釋理由；但當他使用作法B時，他是使用了我們沒教過他的東西，那他用了這個方法，到底是真懂，還是不懂，我們無法確定，因為我們沒有教過他，所以不能預設他知道理由是什麼，因此他需要額外補充說明他的理由，才能算他對。」
這個論點有點接近「因為我這麼教，所以你得這麼做。」，但並不是那麼有強制性的論點。也可以說是，作業或考試的目的是要測驗學生是否學會，若他使用了我們教他的方法，我們就認為他學會了；但若他使用的不是我們教他的方法，我們無法確定他到底學會了沒，所以他需要額外說明。
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A：「這跟他有沒有證明沒關係，也跟作圖痕跡表不表示證明沒關係。而是跟這個作法的可理解性有關。」
B：「你是指，依我們認為學生有沒有可能理解他所使用的作法，來衡量他這樣作適不適當？」
A：「習慣上，如果作圖的結果只需要一個他懂的觀念的解釋，那就接受他使用的方法是他可理解的。以作法A來說，作圖結果是一條箏形的對角線，學生只需要知道箏形對角線會互相垂直，就可以確信這個結果；而作法B的作圖結果需要較多的觀念才能得出結果，說完它是垂線以後要說明它會過P點。因此傾向這個作法是他不太會理解的，學生使用了我們認為他可能不太會理解的觀念來作圖時，我們就需要額外確定他是否真的理解。」
B：「所以依此原則，如果是過線上一點P作垂線，取上下兩交點M、N連線的作法算是可理解的嗎？菱形的對角線會互相垂直平分，故會過另條對角線RS的中點P。」
這可能也要說成是「我們認為這個作法學生有沒有可能理解」，如果我們覺得他不大可能如此理解，那就需要額外追問他的理由。
在某些主題上我可能確實會抱持這樣的論點，例如若我教一個高一的學生求函數極值，他使用微積分的方式，那我覺得有必要知道他是否懂微積分的概念才這樣求極值，還是他只是背了幾套公式。他的作法如果蘊含了我們預設他可能並不會的觀念，那就不能輕易地給他的作法打對，因為我們並不是只要教他作出結果，也有要教他理由，讓他理解的成份在。
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A：「題目要作的是過P點的垂線，最後作出來的這條線應該要是P點和某點相連所成的，這樣才易於理解，作法B中最後如果說（假如有用文字書寫作圖步驟）＂線段M、N連線，即為所求＂，那麼讀這個證明的人是沒辦法看出這條線會過P點的，一個作圖過程應該要能讓別人理解，才無須解釋。」
B：「題外話，如果學生將中垂線作圖改為上側取一半徑畫弧取交點，下側取另一不同的半徑畫弧取交點，將兩交點連線，你會給他對嗎？」
A：「傾向是會，因為這表示他理解中垂線上任一點到兩點等距的概念。如果學生垂線作圖作出了M、N兩點並連線通過P點，我會給他半對；但如果他在敘述中寫＂將M、N兩點連線即為所求＂，那我會給他全錯，因為他答非所問，這表示他沒有明白題目要求的是過P點的垂線。」
這個論點的重點在於，題目要求的是過某點的線的話，最後的結果就必須很顯然能讓人看出這條線會過該點，或是必須額外文字說明為什麼作出的線會過該點。
基本上我認為這可能是＂最主要的論點＂之一，我是指依這個論點可以解釋，為什麼任何情況下都不應該在沒有文字說明下作兩點連線直接讓其過另一點，因為作圖的過程應該要顯然，尤其現在只是在講基本尺規作圖。
其他關於論述優劣的論點往往很難說明，為什麼當P點在線上（而非線外）時，作法A會比作法B有說服力，此時作法A使用的是「等腰三角形頂點跟底邊中點連線，是其對稱軸，故和其底邊垂直」，而作法B是「菱形的兩條對角線互相垂直平分，故通過底邊中點並垂直」，我覺得這兩者在論述上的易懂性、易接受性沒有太大的差異（不像等腰三角形底邊中垂線過其頂點這種論述有點難以接受）。
若你接受這樣的論點，那可以思考的問題是「如果今天學生使用作法A，他將P、N兩點連線得所求。但他在作圖過程中把交點M也標出來了，你會給他對嗎？或甚至他所作的圖中，P、N的連線並沒有通過M點，你仍會給他對嗎？」
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A：「作法A的作圖過程已經說明了那條線會是垂線，所以無須額外用文字說明；但作法B的過程沒有說明M、N連線會過P點，所以需要額外文字說明。」
B：「作法A的作圖過程是怎麼說明那條線會垂直的？」
A：「當學生以P點為圓心，畫弧與線段AB取交點R、S時，這個操作就已經說明了他知道P點在線段RS的中垂線上，他是因為知道中垂線上的點到兩點等距，才會作這個操作的，所以學生之後再作出線段RS中垂線上的另個點N，連PN得到過P點的垂線。這表示他知道作出來的這條線會垂直。」
B：「但如果作圖過程可以說明學生知道P點會在線段RS的中垂線上，那麼學生畫兩圓交於M、N兩點的作圖過程，同樣也可以說明學生知道M、N會在線段RS的中垂線上，這表示學生知道P、M、N三點共線，任取其中兩點連線皆可得到過P點的垂線。那為什麼不能取M、N連線呢？」
A：「如果他真的知道P點在中垂線上，知道兩點就能連成一線，他就只需要作一個點N就好了。」
B：「所以如果他作了兩個點，就表示他不知道兩點就能連成一線？或是表示他不知道P點也在這條中垂線上？」
A：「學生當然知道兩點可以連成一線。但他如果真的知道P點在中垂線上，他就不會多畫一個點，他多畫出這個點，可能就意味著他其實不知道P點也在這條線上，而他只是亂矇剛好畫對的。所以我不能肯定他是會才這樣作的。」
這個論點我個人稱為「多餘論」，也就是作了多餘的事情必然表示一些異樣。
有人會提出，有時候數學的應用問題多寫了幾行算式，也不至於算錯啊。
但多寫幾行跟＂寫出多餘的東西＂是不同的，多寫幾行可能是計算能力比較慢，所以換算經過比較多行，但寫出多餘的東西從最極端有問題的到有可議空間的：
「多寫了錯的東西（例如寫了3+5=7）」
「多寫了正確的東西，但跟題目所求無關（例如雞兔同籠問題裡算式多了一行1+1=2）」
「多寫了跟題目有關的正確東西，但最後跟題目所求似乎無關（例如寫出一個一元二次方程式時就習慣性地將它因式分解來觀察，但最後發現無須使用這個結果）」
「多寫了跟題目有關的正確東西，可以作為推論的依據，但其實推論的過程也可以不使用它（例如求證此一元三次方程式有實根，學生真的把實根求出來了，但其實以我們教他的知識，他也可以直接用實係數的一元三次方程式必然有實根的論點得出結果）」
學生如果寫出某些多餘的東西，我們是有可能將它圈起甚至打錯的，就像有些學生在作答時會猜測可以使用哪些算式拼湊出答案，因此算式中除了對的部份以外，還有其餘很多不知所云的東西，這種時候就會給他打錯，因為認為他的觀念不清楚。
說來還真的有這種事情，有些學生寫作業時會依答案來編造算式，看題目的數字如何能湊出答案（當解謎遊戲在玩（？）），要是他拼湊的算式某部份恰好對了（而有許多其他多餘無關的部份），身為老師應該也不能確信他真的會了。
所以會有問題的，應該是最有爭議的情況。作法B的作法到底算不算多餘？這個多餘可以依同樣的原因說學生可能是因為不懂才作這件事情嗎？
－－－－－
A：「作法2中，幾何公理沒有說三點連成一線，所以這樣作時需要額外說明。」
B：「那作法1中，幾何公理也沒有說兩條線會垂直啊？」
A：「那兩條線會垂直，是因為學生使用的是作中垂線的方法畫的，所以他知道畫出來的線必然會垂直。」
B：「課本中中垂線的作法是用一個圓的兩交點上下各取一點連線，並不是上面用一個半徑取一點，下面用另一個半徑取一點。」
A：「他是用中垂線性質，到兩點等距的點會落在中垂線上。」
B：「那利用這個性質，我同樣可以說明P、M、N三點會在同一條線上，因為他們都在線段RS的中垂線上，所以M、N連線會通過P點。不是嗎？」
A：「學生要理解你說的這件事情，他需要額外的知識，也就是「一條線段的中垂線是不是只有一條？」。」
B：「嗯……確實如此，也就是說，也就是說，我們在講中垂線時並沒有特別強調這點，所以關於＂為什麼M、N連出的中垂線，會和P、N連出的是同一條？＂，這點就需要額外說明。」
A：「但如果你是直接連P、N，就不需要知道這件事情。」
這個論點其他部分無法合乎邏輯地放入對話裡，所以額外在這裡補充，A的一部份重點其實是，在六大基本尺規作圖的這個單元，重點不是要教學生證明，所以實際上作圖時學生是無須說明為何垂直的。
至於為什麼作法2沒有說明三點共線會被判定為錯，這個＂錯＂的意圖是要指出學生作了＂三點連成一線＂這件事，也就是說，雖然我們不管他到底懂不懂為何作出的是過P點的垂線，但是在此之外，我們盡可能地要教他正確的作圖方式，也就是幾何公理或作圖公理的那套，當他連M、N過P點時，對於不理解原理的學生，如果我們給他對，他可能會誤以為＂三點可以連成一線＂是他可以使用的方法。這就違背我們要教他的東西了「當作圖時連兩點過另外一點，這件事情需要額外說明理由」。
所以以A的論點，給錯的理由並非作圖結果是否正確，也並非作圖痕跡能不能證明結果正確，重點根本不是學生到底懂不懂這條線為什麼是過P點的垂線。而是當學生連M、N試圖讓他過P點時，如果未經說明就給他對，可能會讓他學到錯誤的信念（也就是無關證明，只是不希望建立錯誤的迷信），未來他作其他圖沒過他理想的點時，他可能就擦擦改改之前的作圖痕跡，試圖讓連出的線通過指定的點。
而關於對話裡提的論點，確實也是一個考慮的點，要說的話老師應該是不會證明＂中垂線只有一條＂給學生看，但實際上還是有暗示或引導這個信念吧？也就是雖然我沒有明確指出來，但我跟你談論的方式你自然而然會接受中垂線只有一條，而不會額外去懷疑其他情況。
所以說實話這個論述是有點薄弱的。另一部份的問題是，假如學生真的不確定中垂線是否只有一條，那麼原本的作法A也是完全錯誤的，作法A的正確性建立在中垂線確實只有一條上，我可以示範一個例子：
題目：已知直線AB，請作出與之平行的直線。
作法：
步驟一：在線外任取一點M，由於必然存在平行線過該點，所以該點M在直線AB的平行線上。
步驟二：在線外再任取一點N，由於必然存在平行線過該點，所以該點N在直線AB的平行線上。
步驟三：任兩點可以連成一線，所以將M、N連線，即為與直線AB平行的直線。
大家應該很明顯可以看出這是錯的，但這跟利用中垂線性質作中垂線的方法是類似的，我取出在中垂線上的兩點，將它們連線就得到中垂線，這件事情本身的前提就是「這兩個點所在的中垂線是同一條」，但使用這個性質作圖時應該無法論述這件事，所以實際上用的前提是「兩點的中垂線恰好只有一條」，這樣取出來的兩點才會在同一條中垂線上，它們的連線才會是所求的中垂線。
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大概就這樣，可能有些其他觀點被我遺漏了（或是其他我根本沒聽聞過的觀點，若有專業的老師懇請幫忙補充或是完全顛覆也無妨）
我目前的結論（關於我編教材上到底該怎麼說明這件事情）是，建議學生不要連M、N作結果：
第一個原因是，P、M、N三點共線並非顯然的，學生如果作出這個結果就需要額外解釋；
第二個原因是，實際作圖時連M、N的誤差可能會導致其沒有通過P點，若這種情況發生，所作的圖就較難幫助理解，也比較難和其他人說明自己的作圖結果。
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