很久以前寫過一篇文章：小賭怡情，十八啦怎麼賺？
連結：http://ddxu2.pixnet.net/blog/post/205883771
裡面提到的加倍下注法，是國高中時讀的一本數學科普書中寫的。
簡單地說，假設下注的價碼可以自己決定，輸了就輸掉下注的錢，贏了除了拿回下注的錢以外，還會多得到相當於下注金額的錢。
所以加倍下注法的策略就是，一但輸了，下次下注就加倍，如果又輸了，就繼續加倍，直到贏一次為止。
舉實例來說，如果我設想想賺１０元。
第一次我下注１０元，贏了，我就賺到１０元，結束。
如果輸了，現在我的收益是－１０元，我接著下注２０元，如果贏了，我的收益會變成－１０＋２０＝１０元，結束。
如果又輸了，現在收益是－３０元，接著我下注４０元，贏了的話，我的收益就變成－３０＋４０＝１０元，結束。
一直輸的話就一直持續下去。
直到贏一次，這整段過程的收益就是賺到１０元。
假如這個賭局是公平的，每個人的勝率相等（例如：擲一枚公正硬幣猜正反面），那理論上來說：
你參與賭局，最後收益的期望值是０元。
也就是說你參與賭局直到退出賭局，理論上預期的結果會是不賺不賠。
有趣的地方就在於，上面提出的加倍下注法好像無懈可擊，只要贏一次我就是賺１０元啊，為什麼收益的期望值是０元呢？
我們可以從有限制次數的賭局的角度來看這件事，例如你最多只能下注４次，並且你只要贏一次就會收手。
所有的情況寫出來如下：
第一次贏－賺１０元
第一次輸－第二次贏－賺１０元
第二次輸－第三次贏－賺１０元
第三次輸－第四次贏－賺１０元
第四次輸－由於不能下注第５次，所以四次下注的錢都賠掉了，賠１５０元
如果第四次輸了，收益就是－１０－２０－４０－８０＝－１５０元，就輸掉１５０元。
實際計算機率的話，如下（括號內為事情發生的機率）：
第一次贏－（１／２）收益＋１０元
第一次輸－第二次贏－（１／４）收益＋１０元
第二次輸－第三次贏－（１／８）收益＋１０元
第三次輸－第四次贏（１／１６）收益＋１０元
第四次輸（１／１６）收益－１５０元
期望值為對應事件的收益乘上該事件發生的機率，並將各事件所得結果加總：
期望值＝１０×１／２ ＋ １０×１／４ ＋ １０×１／８ ＋ １０×１／１６ ＋ （－１５０）×１／１６
＝（１／１６）×（８０＋４０＋２０＋１０－１５０）＝（１／１６）×０＝０元。
白話一點地說，用加倍下注的方式玩４次，你有１５／１６的機率賺１０元，但有１／１６的機率會賠１５０元。
隨著你可以下注的次數越多，你「贏」的機率越高，但是你「輸」的時候會賠得越多。
假如有１０２４個人用加倍下注法，並限制次數最多下注１０次，那麼預期的結果會是有１０２３個人賺到了１０元，而有一個人賠了１０２３０元。
所以維基百科裡用「這個系統或類似的系統冒很大的風險來爭取小額的回報。除非有無限的資本，這類策略才可成功。」來描述這樣的策略。（搜尋「賭徒謬誤」，雖然我個人並不認為加倍下注法必然跟賭徒謬誤有關）
那麼現在，加倍下注法做為一個期望收益是０元的賭博策略，這還有什麼應用可言呢？
答案是有的，只要「錢」對你的「效用」並非等價時，就有可能可以用這樣的策略了。
大致上可以把「效用」說成是你的「爽度」、「滿足你需求的程度」，正的效用能讓你的爽度增加，滿足你的需求，而負的效用當然就相對是降低你的爽度或是剝奪你所需的。
說明一下何謂錢對你的效用非等價。其實這是很顯然的事情，錢對我們的效用並不是「持有錢」本身，而是「把錢花掉」才能獲得效用，舉例來說，考慮你有５０元可以吃晚餐，你買了一個５０元的便當，吃了不錯的食物、填飽了肚子，這是這５０元帶給你的「效用」，假設這樣的效用是＋１０。
假如你多了２元，５２元可能還是買不到其他東西，一樣只能買５０元的便當，所以當下多那２元對你的效用的增加是０，５２元對你而言的效用仍是＋１０；
而如果當下少了２元，４８元可能讓你買不起一個便當，你只好改成去買你沒那麼喜歡、也覺得吃不太飽的滷肉飯，缺少這２元對你的效用可能是－２，所以４８元對你當下的效用就變成了＋８（而非原本的＋１０）。
這也就是說，在那個當下，多２元對你沒什麼用，但少２元卻會讓你有所損失，同樣都是２元，但得到跟失去的效用並非等價增減。
再舉個例子，你餓了１０天，今天晚上再不吃東西就會死了，而且你只能接受用錢買東西，要你去乞討你寧願去死。
這時候你有０元，買不了東西，你餓死了，０元對你的效用是「死掉」（有些人認為死掉的效用可以說是負無限大）
但這時候你有２０元，夠你買一塊麵包，你活了下來，這２０元對你的效用是「活下來」
而如果你其實處於負債狀態，你欠一個人２０元，我們說你現在的資產是－２０元，你一樣買不了東西，結果還是餓死，－２０元對你的效用仍是「死掉」。
這也就是說，在這樣的情況下，多２０元對你的效用很大，而少２０元對你的效用幾乎沒有影響。
所以如果你在０元，即將餓死之際和人賭博，假如你最後輸了，不管輸多少，結果都是死，效用沒有減少；
而如果你贏了，就算只贏了１０元，也可以幫你多活一天，效用還是正的。
在這種情況下，你可以選擇這種策略，將所有輸的風險聚集在一起，你有很高的機率會「小贏」，而小贏對你的效用很夠；
你有很低的機率「大輸」，但是大輸對你的效用沒有影響，因為只要你沒贏，就算收益是０元，今晚還是會餓死。
上面講起來很脫離現實，不過這種「聚集風險」的策略，其實在生活中很常出現。
例如「車」跟「飛機」，雖然實際上搭飛機的死傷率應該遠低於車禍的死傷率，不過這不妨礙。
搭飛機相對於開車，就是一種「聚集風險」的策略，絕大多數的情況下，搭飛機對你的效用是正的；
而在極少數的情況下，空難發生，你能夠死裡逃生的機會也非常非常低。
相對來說，開車出車禍的機率高很多，但當車禍發生時，你活下來的機率也比搭飛機失事時高很多。
就像前面提的賭博，如果你採取的是每次都只下注１０元（開車），那麼你輸錢的機率高出很多（發生車禍），但相對的輸錢的情況下輸很多的機率比較低（傷不至死）；比起加倍下注法（搭飛機），輸錢的機率非常低（空難），但相對的輸錢時就必然會輸很多。
這裡做一個但書，我只有稍微查過統計資料，但沒有找到很確切的數據，所以搭飛機跟開車事故的例子可能不吻合現實（但吻合我的想像），有錯歡迎指正。
或者是益智問題，如閱微堂的猜帽問題１：http://zhiqiang.org/blog/science/game-one-hat.html
題目是說，一群玩家參加益智遊戲，每個人頭上都有一頂白帽或黑帽，一個人頭上的帽子是白帽或黑帽是隨機決定的，每個人都能看到所有其他人頭上帽子的顏色，但看不到自己頭上帽子的顏色。
知道所有其他人的帽子顏色後，玩家們獨立做出決定，每個人有三個選擇：
一、猜自己頭上帽子是黑色的
二、猜自己頭上帽子是白色的
三、放棄猜測
玩家們勝利的條件是，在所有人做完選擇後（要注意，沒有玩家知道其他玩家做的選擇是什麼），依以下判斷：
若所有玩家都放棄猜測，則玩家們一同失敗；或是有玩家進行猜測，但猜錯他自己頭上帽子的顏色，玩家們一同失敗。
若有玩家有進行猜測（也就是選一或二），並且所有有猜測的玩家，全部都猜對他們自己頭上帽子的顏色，那麼玩家們一同獲勝。
在遊戲開始前（把帽子戴上去以前），玩家們有時間可以討論待會答題的策略（但遊戲中不能有任何形式的溝通），請問：
「怎麼樣的策略，可以使玩家們的勝率最高？」
我可以很快地說明一種勝率５０％的策略，玩家們推舉出一個人Ａ，說好待會只有Ａ會進行猜測，其他玩家皆會選擇三、放棄猜測，而我們知道Ａ猜對的機率是５０％，所以玩家們有５０％的機率贏得這場遊戲。
很有趣的，這道益智問題有很巧妙的解法，有興趣跟能力的人可以自行去讀連結裡的證明。
這邊只能大概地講那樣的策略的「概念」是什麼。
我們知道，基本上每個人猜對的機率都是５０％，但在這個遊戲中，我們只要「有一個人猜對」就好，很多人猜對也不會效用更大。
而相對的，如果有一個人猜錯了，這時就已經輸了，就算所有其他人也都猜錯，輸了就是輸了，效用也不會更低。
如果每個人都進行猜測，期望值告訴我們，大約有一半的人會猜對自己頭上帽子的顏色。
但這不是我們要的，我們可以設想一種策略，把「風險聚集」，就像加倍下注法那樣，我們有很高的機率「小贏」（恰好一個人進行猜測，並且猜對），而我們有很小的機率「大輸」（所有人都進行猜測，並且所有人都猜錯）。
所有可能性中，有猜測的人仍然是其中一半猜對，一半猜錯，但這個策略把「那一半猜錯」的情況全部聚集到了「幾種可能性」之中，而把那「一半猜對」的情況，一個一個分給了「剩餘的所有可能性」，剩餘的每個可能性裡都恰好有一個人會猜對，並且其他人皆放棄猜測。
這種策略的勝率有多少呢？以玩家人數是１５個人的情況來說，這樣的策略勝率有１５／１６≒９３％
很難想像吧！（我沒看解答以前也很難想像XD）
或者今天你玩桌上遊戲，遊戲要結束了，你有最後一次行動的機會。
經過精密的計算，你這個行動只要能得到５分，你就會贏，要是得不到５分，你總歸是輸。（假設你只關注輸贏，分數的數字本身對你沒有效用）
而現在你這個行動有兩種選擇：
第一種，你有５０％的機率得到６分，和５０％的機率得到２分；
第二種，你有８０％的機率得到５分，和２０％的機率分數不增不減。
兩種選擇在分數上的期望值是相等的（我刻意湊的）：６×５０%＋２×５０％＝４＝５×８０％
但第二種選擇，將分數的分配聚集了，雖然１０％的情況中你「分數上輸得更多」，但你不在乎分數，只在乎輸贏。
選擇第一種，你贏的機率是５０％；但選擇第二種，你贏的機率是８０％。
所以選擇第二種對你的「效用」期望值更大。
這樣的例子也可以看成「聚集風險」的應用。
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