這篇文章想講講,關於「負整數」。

 

  在講負整數之前,當然要先提提「正整數」(又稱作「自然數」)囉!

 

  正整數就是「1,2,3,4,5……一直延續下去」,這些數字都是正整數。

 

  人類自幾千年前就開始使用數字(符號當然與現在不同),一開始使用的數字都是正整數,諸如用來表達類似「我們這邊有3個人」、「那邊有兩頭野豬」……等的意思。

 

  在更為原始的部落之中,他們根本就不使用大於10的正整數,因為不需要。

  他們用的數字可能只有「1」、「2」、「3」、「很多很多」,只要數量大於3的情況他們就用「很多很多」來稱呼。

  例如:「我家有很多很多頭豬」

  因為在那個年代,你有50頭豬跟70頭豬沒什麼差別,沒有人會特別在意。

  (不像現在商業行為盛行,書局不會賣一本書,而價格寫:「很多很多錢」)

 

  直到幾百年後,人們所使用的正整數才越來越多,可以精確表達「11」、「99」這些數字,當然,那時可能數字大於100的就用「很多」來表示,看似大於1000的就用「非常多」來表示。

 

  而現在,我們學習的都是「正整數」,這就已經包含了從1一直延續下去的那些數字,「1,2,3,4,5,6,7,……,100,101……」無窮無盡。(換個幽默的想法,我們小六就學到了幾千年前的人根本不曾用過的數字,例如「2593041」(我隨便舉的))

 

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  那接著我要引導進入負整數的話題,讓我們先從「減法」開始吧。

 

  「減法」,可以理解成「去掉」、「拿掉」、「扣掉」……的意思,舉例來說,「12-7=5」可能是指「我有12頭牛,殺掉7頭,還有5頭」

 

  而在跨越過0的部份,是當時一個很大的關卡。

  畢竟,不會有人說:「我有3隻羊,今天吃掉了4隻,剩下-1隻。」這完全沒道理。

 

  可以想見的是,負整數的使用,跟商業行為興盛有關。

  今天如果一個成年人,要計算自己一個月的收入與支出,他可能在一張紙上把所有收入與支出的錢都寫出來,賺到的錢就寫正的「打工賺了500元,+500」,用掉的錢就寫負的「吃高級餐廳花了300元,-300」,這樣條列下來後,最後得出一個數字,那個數字就是這一個月來收支的結果。

  結果如果是0元,那就是收支平衡;如果是負的,那就知道自己的錢會越來越少,而如果是正的,就表示自己的錢會隨時間越來越多。

 

  人類從使用「正整數」,到使用「0」這個數字,再到接受「負整數」的概念,每段過程都經歷了數百年的時間。(而如今我們從幼稚園到國一就學了人類幾千年來累積的知識)

 

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  好啦!再把時間往前拉,拉到封建時期。

  讓我來講講「改變單位」及「改變基準點」(待會再解釋)。

 

  改變單位跟負整數關聯不大,不過值得一提。

  今天你是一個農夫,每年都要繳納糧食給國家,而你有很多塊田,每塊田的收成的某部份要繳納出去。

 

  那今年要繳納出去的稻作,每塊田分別繳納了「25308公克」、「34234公克」、「27442公克」、「12544公克」,那總共繳納了多少呢?

 

  假如今天有100塊田,那就更不得了了。

  這個時候,改變單位就是件有效的事情。

  如果我們把單位改成公斤,然後把多出來的公克數忽略不去計較,那就變成了「25公斤」、「34公斤」、「27公斤」、「12公斤」,這樣要計算總共繳納了幾公斤,是不是容易多了?

 

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  那再來提提「改變基準點」,假如你今天變成了收供奉的官,每個農民都要繳納給你,而你負責統計數量稟報上層。

  那你一次管理100個農家,今年每家報上來的繳納量是「99公斤」、「102公斤」、「124公斤」、「95公斤」……很多很多家。

  那這個時候,要計算總數,要把100個有些大的數字加起來啊,實在有些麻煩。

  這時就有個好方法。由於看到每戶繳納的量,差不多都接近100公斤,那好吧,發個通告下去,告訴你管理的全部農民:「向上稟報時以100公斤為基準,多5公斤就寫+5,少4公斤就寫-4,舉例來說,如果今年你繳112公斤,那你寫+12就好了。」

  於是原本100個很難加起來的數字,變成了「-1」、「+2」、「+24」、「-5」……

  而身為收供奉的官的你,只需要把上面那些小小的零頭加起來,最後前面再加上100公斤*100(戶)=10000公斤即可。

 

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  最後稍微提提,關於「平均」。改變基準點是不會影響平均出來的值所表示的實際結果。

  就像,上面那個例子,假如原本100戶繳納的平均是每戶102公斤,那改變基準點到100公斤的地方後,得出來的平均就是+2公斤,意義上是完全一樣的。

  (所以不用擔心太多,有負數在的時候,取平均一樣是相加除以數量那樣。)

 

  就寫到這,希望對你有所幫助囉!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  有關「相反數」。

 

  在學到負數之後,馬上就會學到相反數。

  這裡一定要提相反數的「定義」(就是它的意思)。

  「一個數字的相反數,就是與那一個數字相加後會等於0的數字。」

  舉個例子來說,5的相反數是-5,因為5+(-5)=0

  如果a是一個數字,那麼a的相反數是-a,因為a+(-a)=0

 

  這就特別強調了一件事情,如果某個數字是另個數字的相反數,那麼它們兩個加起來一定為0

 

  不曉得這有沒有勾起你某個印象。

  我是指……「倒數」。

 

  5的倒數是1/5,還記得倒數的定義嗎?

  倒數的定義就是,「一個數字的倒數,就是與那一個數字相乘後會等於1的數字。」

 

  像3的倒數是1/3,2/3的倒數是3/2這樣。

  (如果a不是0,那麼a的倒數是1/a)

 

  這兩件事情在模式上非常相像,事實上它們也的確很有關係。

  不過我不打算(也大概沒辦法)講清楚,我只提一些特殊的點出來。

 

  為什麼相反數要定義成「與其相加等於0」呢?

  為什麼不定義成與其相加等於1呢?

 

  0有什麼特性?

  它的特性就是,在加法的情況下,「任何數字加上0,值不會改變」。

  寫成數學式子就是「a+0=a」

 

 

 

  那倒數的定義呢?它為何不是「與其相乘等於2」,而要特別指等於1呢?

  1的特性是?

  「任何數字乘以1,值都不會改變。」

 

  有沒有感覺到,它們其實是很相似的概念,只是其中一個指加法下的情況,另一個指乘法下的情況。

 

  就揭露到這裡。

 

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  (接下來這段,不用讀懂沒關係,我深入解釋一下它的意思。)

 

  舉整數來說(整數就是負整數和0和正整數),現在先只看加法,整數中的任何數字加上0,值都不會改變,我就把0稱作「加法的單位元素」。

  意思是指「一個元素(數字)加上單位元素,還是原本的元素。」(在這裡用元素來稱呼數字)

  那,所有的數的集合,都會有加法的單位元素嗎?

  不一定。

 

  像正整數,正整數在加法下,沒有一個數字可以滿足單位元素的條件。(正整數不包含0哦)

 

  非負整數(0,1,2……)就有了。

 

  那再來提提「相反數」,在整數中,5的相反數就是-5,用剛才的定義來說,「a的相反數,就是與a相加後等於單位元素的數。」

  那又特別稱作「加法的反元素」。(這是相反數更深入的講法)

 

  同樣的,也不是所有集合裡的元素都有加法反元素存在,像正整數,每個數字的加法反元素都不存在裡面(例如1的相反數是-1,可是-1並不在正整數這個集合之中(而且,如果集合裡沒有單位元素,那就無所謂「反元素」)。

  而非負整數呢?

  裡面只有一個元素有加法反元素,那就是0,它的加法反元素就是它自己。(0+0=0)

 

 

 

  倒數也是類似的東西。

  只是今天變成了乘法。

  在正整數中,乘法有單位元素1(任何數字乘以1,值皆不變)。

  而倒數就是指「乘法的反元素」,正整數中,只有1有「乘法反元素」(就是它自己),而其他元素,像2,它的乘法反元素並不在正整數裡面。(1/2不是正整數)

 

  那什麼數系會「裡面的每個元素都有乘法反元素」呢?

  舉個例子,「正數」。

  這樣就滿足了條件。

 

 

 

  有了「單位元素」及「反元素」的說法,舉些實際應用的例子。

  如果有玩過魔術方塊,那麼,把「什麼都沒做」當作單位元素,那麼「把某邊轉過去」的反元素就是「把某邊轉回來」(因為相反的兩個動作做一次就等於沒做)。

  (當然這個比喻不是很嚴謹)

 

  或者是看書時,單位元素是「什麼都沒做」,那麼「把書往前翻一頁」的反元素是「把書往後翻一頁」,諸如此類。

 

  這可以拿來研究一些東西,不過那都是很久以後的事情了。(你們也不一定會接觸到囉!)

 

  這段看不懂沒關係,再次強調XD

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