這篇文章想講講，關於「負整數」。
在講負整數之前，當然要先提提「正整數」（又稱作「自然數」）囉！
正整數就是「１，２，３，４，５……一直延續下去」，這些數字都是正整數。
人類自幾千年前就開始使用數字（符號當然與現在不同），一開始使用的數字都是正整數，諸如用來表達類似「我們這邊有３個人」、「那邊有兩頭野豬」……等的意思。
在更為原始的部落之中，他們根本就不使用大於１０的正整數，因為不需要。
他們用的數字可能只有「１」、「２」、「３」、「很多很多」，只要數量大於３的情況他們就用「很多很多」來稱呼。
例如：「我家有很多很多頭豬」
因為在那個年代，你有５０頭豬跟７０頭豬沒什麼差別，沒有人會特別在意。
（不像現在商業行為盛行，書局不會賣一本書，而價格寫：「很多很多錢」）
直到幾百年後，人們所使用的正整數才越來越多，可以精確表達「１１」、「９９」這些數字，當然，那時可能數字大於１００的就用「很多」來表示，看似大於１０００的就用「非常多」來表示。
而現在，我們學習的都是「正整數」，這就已經包含了從１一直延續下去的那些數字，「１，２，３，４，５，６，７，……，１００，１０１……」無窮無盡。（換個幽默的想法，我們小六就學到了幾千年前的人根本不曾用過的數字，例如「２５９３０４１」（我隨便舉的））
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那接著我要引導進入負整數的話題，讓我們先從「減法」開始吧。
「減法」，可以理解成「去掉」、「拿掉」、「扣掉」……的意思，舉例來說，「１２－７＝５」可能是指「我有１２頭牛，殺掉７頭，還有５頭」
而在跨越過０的部份，是當時一個很大的關卡。
畢竟，不會有人說：「我有３隻羊，今天吃掉了４隻，剩下－１隻。」這完全沒道理。
可以想見的是，負整數的使用，跟商業行為興盛有關。
今天如果一個成年人，要計算自己一個月的收入與支出，他可能在一張紙上把所有收入與支出的錢都寫出來，賺到的錢就寫正的「打工賺了５００元，＋５００」，用掉的錢就寫負的「吃高級餐廳花了３００元，－３００」，這樣條列下來後，最後得出一個數字，那個數字就是這一個月來收支的結果。
結果如果是０元，那就是收支平衡；如果是負的，那就知道自己的錢會越來越少，而如果是正的，就表示自己的錢會隨時間越來越多。
人類從使用「正整數」，到使用「０」這個數字，再到接受「負整數」的概念，每段過程都經歷了數百年的時間。（而如今我們從幼稚園到國一就學了人類幾千年來累積的知識）
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好啦！再把時間往前拉，拉到封建時期。
讓我來講講「改變單位」及「改變基準點」（待會再解釋）。
改變單位跟負整數關聯不大，不過值得一提。
今天你是一個農夫，每年都要繳納糧食給國家，而你有很多塊田，每塊田的收成的某部份要繳納出去。
那今年要繳納出去的稻作，每塊田分別繳納了「２５３０８公克」、「３４２３４公克」、「２７４４２公克」、「１２５４４公克」，那總共繳納了多少呢？
假如今天有１００塊田，那就更不得了了。
這個時候，改變單位就是件有效的事情。
如果我們把單位改成公斤，然後把多出來的公克數忽略不去計較，那就變成了「２５公斤」、「３４公斤」、「２７公斤」、「１２公斤」，這樣要計算總共繳納了幾公斤，是不是容易多了？
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那再來提提「改變基準點」，假如你今天變成了收供奉的官，每個農民都要繳納給你，而你負責統計數量稟報上層。
那你一次管理１００個農家，今年每家報上來的繳納量是「９９公斤」、「１０２公斤」、「１２４公斤」、「９５公斤」……很多很多家。
那這個時候，要計算總數，要把１００個有些大的數字加起來啊，實在有些麻煩。
這時就有個好方法。由於看到每戶繳納的量，差不多都接近１００公斤，那好吧，發個通告下去，告訴你管理的全部農民：「向上稟報時以１００公斤為基準，多５公斤就寫＋５，少４公斤就寫－４，舉例來說，如果今年你繳１１２公斤，那你寫＋１２就好了。」
於是原本１００個很難加起來的數字，變成了「－１」、「＋２」、「＋２４」、「－５」……
而身為收供奉的官的你，只需要把上面那些小小的零頭加起來，最後前面再加上１００公斤＊１００（戶）＝１００００公斤即可。
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最後稍微提提，關於「平均」。改變基準點是不會影響平均出來的值所表示的實際結果。
就像，上面那個例子，假如原本１００戶繳納的平均是每戶１０２公斤，那改變基準點到１００公斤的地方後，得出來的平均就是＋２公斤，意義上是完全一樣的。
（所以不用擔心太多，有負數在的時候，取平均一樣是相加除以數量那樣。）
就寫到這，希望對你有所幫助囉！
有關「相反數」。
在學到負數之後，馬上就會學到相反數。
這裡一定要提相反數的「定義」（就是它的意思）。
「一個數字的相反數，就是與那一個數字相加後會等於０的數字。」
舉個例子來說，５的相反數是－５，因為５＋（－５）＝０
如果ａ是一個數字，那麼ａ的相反數是－ａ，因為ａ＋（－ａ）＝０
這就特別強調了一件事情，如果某個數字是另個數字的相反數，那麼它們兩個加起來一定為０
不曉得這有沒有勾起你某個印象。
我是指……「倒數」。
５的倒數是１／５，還記得倒數的定義嗎？
倒數的定義就是，「一個數字的倒數，就是與那一個數字相乘後會等於１的數字。」
像３的倒數是１／３，２／３的倒數是３／２這樣。
（如果ａ不是０，那麼ａ的倒數是１／ａ）
這兩件事情在模式上非常相像，事實上它們也的確很有關係。
不過我不打算（也大概沒辦法）講清楚，我只提一些特殊的點出來。
為什麼相反數要定義成「與其相加等於０」呢？
為什麼不定義成與其相加等於１呢？
０有什麼特性？
它的特性就是，在加法的情況下，「任何數字加上０，值不會改變」。
寫成數學式子就是「ａ＋０＝ａ」
那倒數的定義呢？它為何不是「與其相乘等於２」，而要特別指等於１呢？
１的特性是？
「任何數字乘以１，值都不會改變。」
有沒有感覺到，它們其實是很相似的概念，只是其中一個指加法下的情況，另一個指乘法下的情況。
就揭露到這裡。
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（接下來這段，不用讀懂沒關係，我深入解釋一下它的意思。）
舉整數來說（整數就是負整數和０和正整數），現在先只看加法，整數中的任何數字加上０，值都不會改變，我就把０稱作「加法的單位元素」。
意思是指「一個元素（數字）加上單位元素，還是原本的元素。」（在這裡用元素來稱呼數字）
那，所有的數的集合，都會有加法的單位元素嗎？
不一定。
像正整數，正整數在加法下，沒有一個數字可以滿足單位元素的條件。（正整數不包含０哦）
非負整數（０，１，２……）就有了。
那再來提提「相反數」，在整數中，５的相反數就是－５，用剛才的定義來說，「ａ的相反數，就是與ａ相加後等於單位元素的數。」
那又特別稱作「加法的反元素」。（這是相反數更深入的講法）
同樣的，也不是所有集合裡的元素都有加法反元素存在，像正整數，每個數字的加法反元素都不存在裡面（例如１的相反數是－１，可是－１並不在正整數這個集合之中（而且，如果集合裡沒有單位元素，那就無所謂「反元素」）。
而非負整數呢？
裡面只有一個元素有加法反元素，那就是０，它的加法反元素就是它自己。（０＋０＝０）
倒數也是類似的東西。
只是今天變成了乘法。
在正整數中，乘法有單位元素１（任何數字乘以１，值皆不變）。
而倒數就是指「乘法的反元素」，正整數中，只有１有「乘法反元素」（就是它自己），而其他元素，像２，它的乘法反元素並不在正整數裡面。（１／２不是正整數）
那什麼數系會「裡面的每個元素都有乘法反元素」呢？
舉個例子，「正數」。
這樣就滿足了條件。
有了「單位元素」及「反元素」的說法，舉些實際應用的例子。
如果有玩過魔術方塊，那麼，把「什麼都沒做」當作單位元素，那麼「把某邊轉過去」的反元素就是「把某邊轉回來」（因為相反的兩個動作做一次就等於沒做）。
（當然這個比喻不是很嚴謹）
或者是看書時，單位元素是「什麼都沒做」，那麼「把書往前翻一頁」的反元素是「把書往後翻一頁」，諸如此類。
這可以拿來研究一些東西，不過那都是很久以後的事情了。（你們也不一定會接觸到囉！）
這段看不懂沒關係，再次強調XD。
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