排列組合中的重複組合。 @ 我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　這篇是有關排列組合中重複組合（Ｈ）轉變成想排列（Ｐ）或組合（Ｃ）的思考方式。
　　雖然有趣且實用，不過也很容易遺忘（也許是我目前了解的只有在解題目時實用吧XD）。
　　在網路上找到另篇同樣對此著墨不少的文章，其行文較為乾淨俐落。
　　http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/content_new/c2-6.htm

　　此篇適合學過重複組合（Ｈ）卻不了解它背後根據的人閱讀。

　　問題是這樣的。
　　「滿足x + y + z = 8 ，且x , y , z 都是非負整數的( x , y , z )有幾組解？」
　　我強烈建議高中生對數學仍懷抱一點興趣的朋友，不要理會Ｈ＊取幾的公式，要麻頂多考試前記一下，免得定義不知道，出在選擇題時沒辦法判斷答案。
　　如果我沒搞錯Ｈ的定義的話，那麼當這道題目出現在習題時，解答會使用Ｈ３取８來解。

　　我待會講的雖然不用Ｈ，但其實就是課本講Ｈ定義時所用的觀念。

　　想像一下，有８個圈圈（因為加起來等於８）。
　　ＯＯＯＯＯＯＯＯ
　　而這題有兩個＋號，接著把８個圈圈和２個＋號做排列，＋號作為區隔，最左邊的圈圈量就是x的值，中間的是y值，右邊的是z值。
　　舉例來說－－

　　ＯＯＯ＋ＯＯ＋ＯＯＯ，就是一組x = 3 , y = 2 , z = 3 ，x + y + z = 8 的解。
　　＋ＯＯ＋ＯＯＯＯＯＯ，就是一組x = 0 , y = 2 , z = 6 ，x + y + z = 8 的解。

　　ＯＯＯＯ＋＋ＯＯＯＯ，就是一組x = 4 , y = 0 , z = 4，x + y + z = 8 的解。

　　這是彼此完全一一對應的（數學語言上叫做one to one），意思是我找得出一組( x , y , z )，就能排出一種８個Ｏ和２個＋所排列出的一種排法。
　　而如果我用８個Ｏ和２個＋排出一種排列方式，那也對應到一組 ( x , y , z )。

　　於是原本求 x + y + z = 8 的問題，就轉變成問：「８個Ｏ和２個＋做排列，有幾種排列方式？」
　　那這可以直接想成（同義於）：「在１０個空格（因為要擺８個圈圈跟２個＋號，要有１０個空格）中，選２個空格放＋號，其餘皆放Ｏ，有幾種放法？」
　　共有Ｃ１０取２種，意思是有４５種排列方式，意思就是滿足條件的 ( x , y , z ) 有４５組解。

　　上面的這個做法可稱做「數學建模」（可說是我說的「翻譯」的其中一個分支），如果善長建模，那就有能力可以解決許多較為偏向現實的問題。（而非只在純理論裡打轉）

　　但，如果這題提出了一個有趣的觀念，卻只能應付這種形式，未免也太累贅了（不如直接背公式XD？）。
　　所以不只是這樣。

　　下一題（通常這些題目我會選擇會放在一起講）。
　　「滿足 x + y + z = 8 ，且x , y , z 都是『正整數』（條件改了）的 ( x , y , z ) 有幾組解？」
　　這題如果是習題解答，它通常會這麼寫：「令x’ = x – 1 , y’ = y – 1 , z’ = z – 1（就是先丟給x , y , z 各一個1，讓剩下來的數字分配轉為「非負整數」的分配方式），則該式可改寫成x’ + y’ + z’ = 5，這是Ｈ３取５，得解。」

　　要想成那樣亦是可以，８個圈圈，先把３個圈圈給拿掉（已經預留給x , y , z 各1個了），剩下５個圈圈，和２個＋號，再做排列即可。
　　稍作補充此時的兩種表達方法，第一種是（５＋２）！／５！２！，這種寫法的意思是：「７個東西排成一列，其中５個是一樣的，另外２個是一樣的（因為一樣的東西調換順序不會產生新的排列方式），所以除以５！和２！」（這裡的「！」是階乘的意思）

　　第二種表示方法是Ｃ７取２。
　　（你或許發現Ｃ７取２寫出來就跟上面的第一種長得一模一樣，但是我說，它們是依據表面上不同的理由寫出來的）
　　５個圈圈和２個＋號，會排出７個位置，而這２個＋號擺在７個位置中的哪兩個位置呢？
　　（因為選定了２個＋號的位置後，其他就都放圈圈了。）
　　這就是從７個位置裡選２個位置放＋號，有Ｃ７取２種放法。

　　而，也可以不用用上面那樣的想法。（也是滿漂亮的啦！）
　　這裡再提供另個觀點。

　　依然是８個圈圈，ＯＯＯＯＯＯＯＯ，一樣２個＋號，可是這次用＋號來分區塊時，不能使得任一區塊裡面的圈圈數量是零個（因為都要是正整數），意思就是說，２個＋號中間必然要有圈圈作為區隔（要不然 y 就等於0了），以及這２個＋號不能放在最左或最右側（要不然 x 或 z 就等於0了）。
　　那其實就相當於問：「從８個圈圈的７個縫隙中，挑兩個縫隙放入＋號，有幾種放法？」
　　（因為這樣的放法恰好不會放到兩側，也不會使得兩個＋號中間沒有圈圈，而且與原本的問題是完全對應的。）
　　那答案就是Ｃ７取２種。

　　從剛才第一題的想法轉到第二題的第一個想法，還算容易，轉到第二個想法，就沒那麼直覺了。第二個想法雖然也是直觀的看，但是延伸的方式較難思考。
　　舉例來說，如果今天題目要求：「x , y , z 皆大於等於２」，那麼第二個想法要如何能夠想像＋號與＋號之間有２個圈圈做為區隔的情形呢？（當然也是可以，只是不容易想）
　　此時若仍沿用第一種想法，先把要給x , y , z 各２個（共６個）的圈圈預留起來，剩下來的再做排列，會容易許多。

　　這系列問題還沒結束。（只要有人有意願，可以一直發展下去XD？）

　　下一題（希望你會注意到，解決的想法都是從另個觀點看題目，藉此將它變成我們已知如何解的問題）。

　　「滿足 x + y + z ≦ 8，且 x , y , z 皆為非負整數的 ( x , y , z ) 有幾組解？」
　　通常人到了這裡，想像力就已窮盡了。（這句話沒什麼根據）
　　就連解答本都有可能會這麼寫：「把 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 的情況都列出來，再全部相加即得解。」
　　事實上要是我沒有想起其他算法的話，是很有可能真的那樣算的。
　　較為快速的想法是，這次我一樣有８個圈圈，２個加號。
　　如果我將這１０個東西排列的話，只會切割出３個區塊，而且是滿足 x + y + z = 8 的情形。
　　但如果我再加上１個加號呢？
　　８個圈圈和３個加號，可以切出４個區間，第一個區間有 x 個圈圈，第二個區間有 y 個，第三個區間有 z 個，現在 x + y + z 的值就變成小於等於 8 了（因為右邊還有個區間有圈圈）。
　　那第四個區間（最右邊的）是什麼呢？那就是剩下來沒用到的圈圈。
　　如果第四個圈圈裡裝了８個，那就是 x + y + z + 8 = 8 的情形（化簡成 x + y + z = 0 ），如果裝了７個，那就是 x + y + z + 7 = 8 的情形（化簡成 x + y + z = 1 的情形）……
　　這就意味著，我建立第四個區間 u ，求「滿足 x + y + z + u = 8 」的解情形，它有幾組解就表示「x + y + z ≦ 8」有幾組解。