我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

想了一陣子，我決定用這道題目當文章開頭。

現在有一個圓形會場，周圍均勻分布３１道門，這其中有９道是逃生出口。

你可以在紙上畫一個圓，從圓周上畫３１個點，然後編號１～３１。

我們把編號１～７當成一組，２～８一組，３～９一組．．．．
一直寫到３１～６這組（所以共有３１組）


現在要證明一件事情。

不論９道門如何設置，
３１組門中，至少有１組的７道門裡面，會含有３道（含）以上的逃生門。

嗯，舉個例子，假設今天的逃生門編號是
１．４．５．１０．１５．１６．２１．２４．２８
我們就能看出
在１～７這組中含有３道逃生門
（當然其他組也有）

希望我表達了清楚的意思，接下來我說明一下這題的難易度。

全台灣高中生至少有２００人認為這題＂非常簡單＂
至少有１０００人認為這題＂很簡單＂
至少有３０００人認為這題＂簡單＂
（其實我總覺得我都低估了（？））

我比較沒那麼偉大，我想了一天才想出來，希望沒實力的我為這題打＂普通＂不會帶來爭議。

因為我相信它的想法，只要你看了，就能懂。

雖然我不想很快洩底，不過我沒什麼選擇。

（以下是我的想法，至於視這題＂非常簡單＂的朋友們有沒有更精簡的想法我就不得而知了）

現在會場管理員要問你每一組跟逃生門數量的情報。

第１組（１～７）中含有幾道逃生門？
第２組（２～８）中含有幾道逃生門？
．．．．．．
第３１組（３１～６）中含有幾道逃生門？

管理員又想知道每一道逃生門有幾組通過？（它被選到幾次？）
這無疑是７組（７次），如果逃生門的編號是１
那通過它的組就是
２６～１
２７～２
２８～３
２９～４
３０～５
３１～６
１～７

相信這個說法很容易接受。

接下來
每一組選到幾道逃生門的數量，全部加起來，
是不是等於每一道逃生門被選的次數，全部加起來？
（每一道逃生門被選７次，加起來就是７＊９＝６３）

這相當於，
３籃蘋果每籃６顆，跟６籃蘋果每籃３顆，蘋果的顆數都是３＊６＝１８

相信這句話不會太難接受。

這個時候我們就要回到題目，

要證明，＂至少＂有一組的編號七個門中，含有３道（含）以上的逃生門。

就等於只要我們能證明，「不可能全部的組，都只有２道（含）以下的逃生門。」

要說明一件事情不可能，就是假設它可能。

如果３１組中，每一組，都只含２道（含）以下的逃生門。

第１組（１～７）含０～２道逃生門
第２組（２～８）含０～２道逃生門
．．．．．．
第３１組（３１～６）含０～２道逃生門

每一組選到幾道逃生門的數量，全部加起來

３１個介在０～２之間的數字，全部加起來，最大是多少？
這就像考試１０科考卷，每一科你都有可能考０～１００分，那最高分能考幾分？
（雖然我知道應該許多人最高分不是１０００．．．）

全部加起來，是６２，這應該可以接受吧！

而這是在＂假設３１組中，每一組，都只含２道（含）以下的逃生門＂
下出來的最大數字，有沒有發現它比６３還小ＸＤ

每一道逃生門被選的次數，全部加起來
（每一道逃生門被選７次，加起來就是７＊９＝６３）

在假設的情況下，最大居然還是沒有達到６３，這代表？
「假設錯誤」

所以，一定至少有一組裡面，含有３道（含）以上的逃生門，得到證明。


我盡量把所有數學上常用的解釋文字排除，轉為生活中就能理解的模式。

另外這是某年台大數學系二階筆試題目，很高興你們也能體會這個想法，
即使能不能運用自如是另一回事。


在亞太數學營的時候，我詢問一些同學一個物理問題。
「現在你站立著往前丟出一顆石頭，不計算阻力的話，仰角幾度，石頭會丟最遠？」
這題就連高一的學生都會回答４５度

接著
「現在你等速向前跑，情況如上，丟出一顆石頭，這個時候仰角應該比４５度？」
這題即使他們之中高一的猶豫了一下，結論還是，大於４５度。
（至於沒辦法理解為什麼的人，抱歉我沒能力在這裡解釋清楚）

有趣的來了
「所以剛才我們得到兩個結論，
１．站著的時候丟４５度會最遠
２．向前等速奔跑丟大於４５度會最遠。」

「就相對運動來看，你向前等速奔跑，如果這時以仰角４５度丟出，
這顆石頭會＂離你最遠＂。」
（這是根據第一個結論，和相對運動所得）

「就第二個結論來看，這種情況下丟大於４５度，
石頭會離＂丟出的地點＂最遠。」

那在這種情況下，一個是離自己最遠，一個是離原地最遠，兩個都是最遠，怎麼回事？

朋友們沉思了很久，也提出不少想法。
說真的他們思考的時間開始讓我懷疑自己是不是對物理不了解才妄下狂語。

最後回家的時候有答應志軒說要把這題發在網誌上，
雖然我隔了這麼久，才發出來。

只能說有些事情＂對＂的讓人懷疑吧！
兩個結論都是對的，問題在於為什麼都是最遠？

用另個角度來說
丟大於４５度的最後不會離自己最遠？
丟４５度的最後不會離原地最遠？

這兩個結論也是對的。

期盼各位讀者為自己陷入的想法找出一個解釋。
因為我週遭的朋友
不是聽完這段話，毫無感覺，還沒思考就覺得理所當然。
要不然就是我表達能力差，他們無法了解問題。

第三種就是像剛才說的，思考了很久。
他們對於所有情況的考慮都十分周詳，讓我訝異到他們的提問我都沒有什麼解釋。

就暫且這樣了，思考的工作交給你們吧！