我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　會寫這篇文章，是因為家教時發現這件事情，發現這件自己以前也沒怎麼想過，卻似乎很關鍵的概念。

　　而後在教國中的學生時，詢問其對於「解聯立方程式得出的解」的看法後，才發現這樣的「不了解」有可能是普遍的現象。

　　既然有可能是普遍的，那就先聽問題吧XD。

　　本篇文章適合學過二元一次聯立方程式，或者是底下的一元二次方程式的人。

　　一組二元一次聯立方程式如下：
　　3x + 4y = 5
　　2x + 5y = 8
　　求解（x,y）？

　　前面提過你學過了，所以你應該做得到消去其中一個變數後得出x = -1、y = 2 的解（就是寫成（-1,2）囉）。

　　接著有個好問題。

　　2x + 5y = 8 是原本的式子嘛……如果我把右邊等號及數字先拿掉，只看2x + 5y。
　　那請問，如果把剛才求出來的解 x = -1、y = 2 帶進去2x + 5y ，計算出來後會得到多少？（就是問2*(-1) + 5*(2) = ?）

　　接著就有幾種情況。

　　第一種，你算不出來XDDD，那這就是國小或國一的事情了，先關掉我這篇文章吧，並且去告訴你的學校老師，他並沒有教會你，請他再教你一次。

　　第二種情況，你算出來了，並且你列的算式是2*(-1) + 5*(2) = -2 + 10 = 8，答案等於8。

　　第三種情況，你連筆都沒有拿起來，腦中連算式都還沒浮現，答案就出現了8。

　　欸……怎麼會有第二種和第三種情況的差異呢？（這篇文章是建立在你是用第二種情況的算法來寫的）

　　第二種情況的人，請再試試看把x = -1 、y = 2 這組聯立方程式的解，帶進去 3x + 4y（原本3x + 4y = 5式子的等號左邊部分），會得到多少？

　　如果你再列了一次3*(-1) + 4*(2) = -3 + 8 = 5，答案等於5……

　　不曉得你有沒有發現，一開始給的聯立方程式，是：
　　3x + 4y = 5 以及
　　2x + 5y = 8

　　而把求出來的這組解（x,y）= （-1,2）帶進去式子的左邊部分，3x + 4y恰好會等於5，2x + 5y 恰好會等於8。

　　這只是偶然嗎？

　　在這裡，我要說明這不是偶然，這也是第三種情況會出現的理由根基。

　　在這裡對你提出一個問題：「求解是什麼意思（相當於問求解的目的是？）？」

　　嗯……你心裡想的是「把它一個變數的係數弄成一樣，然後把其中一個變數消去，得出解」嗎？
　　如果是這樣的話，你所想的是求解的「過程」，而非求解的「目的」。

　　「求解」的意思是－－「找出解答」。
　　而什麼是解答呢？

　　當問求出
　　3x + 4y = 5
　　2x + 5y = 8
　　這組聯立方程式的解時，我其實是在問：「請找出當 x = ??? 且 y = ?????（我問號只是隨便打的，表示某個數） 時，3x + 4y = 5 及 2x + 5y = 8的兩個等號會成立。」

　　如果說求解比較難，那至少我們可以判斷「什麼東西不是解」。

　　舉例來說，x = 100、y = 50這組（x,y）會是那組聯立方程式的解嗎？
　　我就把它帶進去啊，左邊是3*(100) + 4*(50) = 300 + 200 = 500。
　　欸，左邊得出的值是500，右邊的值是5，請問500 = 5嗎？

　　500是不等於5的，意思是x = 100、y = 50 這組（x,y），帶進去式子裡，結果等號不成立，那這組數字就不是解。

　　聯立方程式求解的意思就是：「找出一組數對，使得帶進去每個式子裡，都會使得等號成立。」
　　（當然如果你學的是高中不等式的聯立方程式，那求解的意思就是帶進去後使得那些方程式皆成立）。

　　這就是第三種情況，可以直接回答出 8 的理由。
　　我已經找到解了！解就是會使得等號成立的數對，那我把它帶進原本的2x + 5y = 8裡，因為這是解啊，所以帶進去後等號會成立，既然等號會成立，那把 （-1,2）這組解帶進2x + 5y 裡，當然就會等於 8 了。



　　如果你原本是第二種情況，希望你看完後懂求解的意思。

　　略提一下，一元二次方程式求解亦是類似意境。
　　很多學生都學得會十字交乘法，或者是背得起來公式解。
　　這裡我寫個一元二次方程式：
　　5x^2（平方的意思）＋18x - 8 = 0，試求解 x ？
　　學過十字交乘法的人，姑且不論你懂不懂十字交乘法的理由，反正你寫出了
　　5x - 2
　　  x + 4 ，然後得出x = 2/5 or -4

　　同樣的問題，請問如果你把x = 2/5 帶進去5x^2 + 18x - 8 這個式子裡（原式左邊的部分），結果會等於多少？

　　再次提醒，求解就是：「找到 x = ????時（在此只有x），可以讓原本式子的等號成立。」
　　既然找出來的x = 2/5 是解，那意思就是說，如果令x = 2/5，則5x^2 + 18x - 8 = 0 這個式子「等號會成立」。
　　所以把x = 2/5 帶進去 5x^2 + 18x -8 ，會得出多少？

　　如果你看懂前面了，希望你同樣懂這段，答案是 0 。

　　（題外話，略提一下十字交乘法到底在做什麼，舉剛才的式子，對它十字交乘法，其實就是嘗試找出它的因式。
　　我們直接來看，5x^2 + 18x -8 = (5x - 2)*(x + 4)，你檢驗一下右邊的式子乘開會得出左邊吧。
　　那既然我們是要找x使得5x^2 + 18x - 8 = 0 成立，那就相當於找使得(5x -2)*(x + 4) = 0 成立的x（因為兩個式子是完全一樣的）。
　　那(5x-2)*(x + 4)兩個數字相乘要等於 0 要滿足什麼條件呢？
　　舉例來說，一個正數乘以另個正數，會等於 0 嗎？
　　當然是不會（希望你真的是認為不會的XDD）。
　　兩個數字相乘如果要等於 0 ，除非其中一個數字為 0 ，試想，若其中一個數字為 0 ，那再乘以任何數字都會等於 0 啊。
　　（這句話並不嚴謹，但對於大學以前的數學已經足夠）
　　那我想要找出當 x = ?的時候，相乘的兩數，其中一個會變成 0 ，那就是會使得5x - 2 = 0 ，或  x+4 = 0 的解囉！

　　找出來的解，就表示把它帶進原本式子裡，會使得等號成立。）