我沒有寫填充題的詳解，某方面是因為填充題幾乎都是在考計算能力。
（以及套公式的能力XD）
另方面是寫詳解所耗費的精力，實在有些超過XD。
我相信光對選擇題的理解，就能充分展現一個人對數學觀念的理解。
寫這篇詳解的經驗也帶給我一個感受－－「用數學語言真的有點用處……」
近乎全部都用中文完成的詳解，字數超乎想像的多。
而裡面的概念，如果全部都用數學語言來表示的話，我猜可以減少８０００字以上。
希望這篇文章能帶給你／妳一些對於解題之外的數學概念。
100年學測試題及解答連結hhttp://www.ceec.edu.tw/abilityexam/AbilityExamPaper/100SAT_Paper/100SAT_PaperIndex.htm
1.有一箱子，內有 3 黑球與 2 白球。有一遊戲，從箱子中任取出一球。假設每一顆球被
取出的機率都相同，若取出黑球可得獎金 50 元，而取出白球可得獎金 100 元，則下
列哪一個選項是此遊戲的獎金期望值？
(1) 70 元
(2) 75 元
(3) 80 元
(4) 85 元
(5) 90 元
抽一顆球，拿到黑球的機率是３／５，拿到白球的機率是２／５，拿到黑球有５０元，
拿到白球有１００元，故抽一顆的期望值（預期的獲利）是
５０ ＊ ３／５ ＋ １００ ＊ ２／５ ＝ ７０
也可以想像抽五顆球出來，獲得的錢再除以球的數量。
具體理由我不太能說明，舉例來說，就像從一副５２張的撲克牌裡抽一張出來，這張牌的數字
的期望值為？
我可以說是１ ＊ ４／５２ ＋ ２ ＊ ４／５２ …… ＋ １３ ＊ ４／５２
也可以直接把四堆一樣的當成一堆，直接算 １ ＊ １／１３ ＋ ２ ＊ １／１３ ……
＋ １３ ＊ １／１３
也可以把全部牌的數字加起來，在除以５２。《列式子就是４（１＋……＋１３）／５２》
期望值是種生活中可以常用的概念，有些比較偏直觀的想法《當然背後是有理由可以依據的》。
2.多項式 4( x^2 + 1 ) ( x + 1 )^2 ( x - 3 ) + ( x - 1 )^3 等於下列哪一個選項？
(1) x ( x + 1 )^2
(2) 2x ( x - 1 )^2
(3) x ( x - 1 ) ( x + 1 )
(4) 2 ( x - 1 )^2 ( x + 1 )
(5) 2x ( x - 1 ) ( x + 1 )
備註：《「???^2」的意思是「???的平方」，例如( x + 1 )^2 = x^2 +2x +1，若有看不懂可看原試題卷》
看到這題，腦中一閃而過「不要把原本的式子乘開」，理由是，感覺那樣做太麻煩了。《不過
要那樣做也是做得出來，而且也不一定比較慢》
既然下面的都是已經因式分解過的式子，那我只要把下面多項式的根帶進去原本的式子，如果
原本的式子會等於０，那就表示原本的式子有這個因式。
可以帶０、－１、＋１進去判斷，舉例來說，我把ｘ帶０進去原本的多項式，那計算之後結果
為０，那就表示我原本的多項式化簡之後，有ｘ這個因式。
也可以注意到 x^3 項的係數，原本的多項式 x^3 項係數為 2，那如果另個多項式和它一樣，
那它的 x^3 項係數也必然是 2 。
用以上的判斷方法，或許可以快些找出相同的式子。
略提一下，何謂兩個多項式《也可以說「函數」》相等呢？
給定任意的變數值，帶進兩個多項式後，得出的結果皆相同，那就表示這兩個多項式相等。
所以上面也可以隨便帶數字進去，例如帶 x = 3，題目上的式子會得出 48 ，那就看下面哪個
選項帶 x = 3進去會等於 48 ，相等的「才有可能」是答案。《意思是「如果一個 x 帶進去不相等
，兩多項式必不相等」，但「一個 x 帶進去相等，也不能保證兩個多項式就相等」》
在這裡光用刪去法《刪去不可能的選項即可》，得到剩下一個選項就可知其為答案。
3.設 (Ａn+1)^2 =(Ａn)^2 / (10)^1/2 ， n 為正整數，且知 Ａn 皆為正。令 Ｂn = log Ａn ，則數列 Ｂ1 , Ｂ2 , Ｂ3 ,……為
(1) 公差為正的等差數列
(2) 公差為負的等差數列
(3) 公比為正的等比數列
(4) 公比為負的等比數列
(5) 既非等差亦非等比數列
備註：《在此Ａn表示這個數列的第 n 項，Ａn+1表示這個數列的第 n+1 項，Ｂn 亦同，若有不懂可見原試題卷》
看到原本的Ａ的數列，因為 1 / (10)^1/2 這個值比 1 還小，所以 Ａn+1 會比Ａn 還小，意
指 Ａn 這個數列的值是越來越小。
而既然 Ｂn 是 Ａn 的值取log，而如果一個數字原本比另個數字大，那麼兩個數字同取log之
後，大小的關係仍然不變。
《當然取log的時候 Ａn 的值必須為正，取 log 出來的值才有意義，而 「Ａn 皆為正」已是題目給的條件》
至此，最少可以推出，Ｂn 是一個值越來越小的數列。《意思是，要不然是公差為負的等差數列
，要不是公比小於１的等比數列》
那因為 Ａn 都是正的，可以把題目原本給的式子「兩邊同時開根號」《因為兩邊都是正的，所
以可以這麼做》，得到 Ａn+1 = Ａn / (10)^1/4 。
我想判斷 Ｂn 是等差還是等比數列。
就隨便取個比較好算的數字，例如Ｂ1 = log Ａ1 ，那 Ｂ2呢？
Ｂ2= log Ａ2 = log ( Ａ1 / (10)^1/4 ) ，而log的特性就是，它可以「把式子內的乘法分開
，提出變成加法」。
《我相信這是當初構想 log 這個計算方式時的「目的」，假如今天為了現實上的目的，要計算
2^1000 大約的值是多少，一個一個乘就太慢又太難算了，如果可以有個計算方式讓乘法變成加法，
那就會好算很多。》
2012/01/20 11:24補充
之前在網路上看過一篇文章，講有關對數的來源，以及以前的人是怎麼樣把對數值求出來的。
意思是問：「我們現在看到的對數表，是怎麼做出來的呢？」
在簡略一點的問題是：「我們可能背過《這裡以 10 為底》log 2 ≒ 0.301 ，這轉換成原本的指
數形式的話，就是在說：「10^0.301 ≒ 2」《 10的0.301次方是什麼意思呢？想想看10的0.5次方可
以寫成10^1開根號，10的0.301次方也可以寫成10的301次方 開 1000次方根的值》，那問題來了，
我們是怎麼會知道這個數字約等於 2 的？」
這篇文章的下半章節給了很清楚的解釋。《而它的上半章節講數學建模，也是很值得提的概念
，不過用的語言有些是大學才會遇見的，可能要先接觸過以及了解語言的定義才能讀懂。下半章節
就只要有高中的數學語言即可。》
http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/13012.pdf
剛才那個式子繼續寫下去 log ( Ａ1 / (10)^1/4 ) = log Ａ1 + log (10)^1/4
意思是Ｂ2 = Ｂ1 + log (10)^1/4 ，到這裡就可以感覺出是等差數列了，要是不行就再寫出 Ｂ3 吧。
當然若直接從這裡算，也可以看出Ｂ2 比 Ｂ1 還小《因為log (10)^1/4 出來的值是負的，因
為 (10)^1/4 小於 1 ，如果這樣的理由仍不能被理解，那先去翻課本 log 的定義吧，然後想想看
log 1 等於多少？》
所以結果得到，數列Ｂ1 , Ｂ2 , Ｂ3 , ……是一個「公差為負的等差數列」。
4.坐標平面上滿足方程式[(x^2)/(5^2) + (y^2)/(4^2)][(x^2)/(3^2) - (y^2)/(4^2)] = 0 的點 ( x, y ) 所構成的圖形為
(1) 只有原點
(2) 橢圓及原點
(3) 兩條相異直線
(4) 橢圓及雙曲線
(5) 雙曲線及原點
備註：《強烈建議這題的題目看試題卷，我題目用文字寫實在不容易被看懂》
一開始看到左邊的式子，腦中馬上浮現一個橢圓的感覺，右邊的式子乍看之下是個雙曲線。
接著看到「 = 0 」，腦中浮現「兩式相乘等於０？」，兩個式子相乘等於０的話，就表示只要
其中一個式子的值為０，等式就成立。《類似的例子像是，給兩個數字Ｍ、Ｎ，如果Ｍ＊Ｎ＝０，那
就表示Ｍ和Ｎ至少其中一個是０》
意思就是說，我在座標平面上畫出(x^2)/(5^2) + (y^2)/(4^2) = 0 的圖形，這個圖型上的點會
滿足題目給的方程式。
我再畫另個(x^2)/(3^2) - (y^2)/(4^2) = 0 的圖形，這個圖型上的點亦會滿足題目給的方程式。
第一個圖，由於 x^2 與 y^2 是恆大於等於 0 的《一個實數的平方大於必然等於０》，而中間
又是加號，它們的係數又都是正的，那就是兩個大於等於０的數字相加，會等於０，這只有一種情況
，那就是兩個數字皆為０的時候，才會滿足這個式子。《意思是，「原點（０，０）」是滿足方程式的解》
第二個圖，我想要把它弄得簡單一點，我把其中一項移到另邊去，就可以得到等號兩邊都是平方
，那我兩邊同開根號，把右邊加上正負。
《因為我沒辦法知道原本的 x,y 值是正或負，只能知道他們平方之後有那樣的關係。就像
1^2 = x^2 一樣， x 有可能是 +1 或 -1。當然兩邊都有平方的情況下，我們應該要討論四種情況
「皆正的一種」、「皆負的一種」、「一正一負的兩種情況」，但經過驗證之後，可以理解若只是要
畫圖形，可以省略去判斷其他兩種。》
兩邊同開根號之後《除非你有跟著做，不然大概不知道我這裡在說什麼……》，
得到 x/3 = +y/4 or -y/4 ，到這裡就可以看出，這個式子的圖型將會是兩條直線了。
而這兩條直線又恰好通過原點，所以答案是「兩條相異直線」。
《如果求出來的線沒有通過原點，那答案就要是「兩條直線和原點」》
5.請問下面哪一個選項是正確的？
(1) 3^7 < 7^3
(2) 5^10 < 10^5
(3) 2^100 < 10^30
(4) 底數為2，真數為3的log數 < 1.5
(5) 底數為2，真數為11的log數 < 3.5
備註：《一樣看不懂就看原試題，(4)選項log的描述方法，也可以寫成「使得 2 的「某數」次方
會等於 3 的「某數」 < 1.5 」，(5)選項亦可這樣改》
第一個選項，我對數字的小倍數成長計算還算熟，腦中就直接浮現， 3 , 9 , 27 , 81 , 243 ,
700多 ，意思是算到 3^6就七百多了，而 7^3 稍微運算一下，約 350 不到，所以第一個選項必然錯。
第二個選項，其實指數是一個成長很快的函數，就算不真的去算，我也會認為 5^10 比 10^5 大多了。
稍微計算一下，5 , 25 , 125 , 625 , 3125 , 15000多 , 75000多 , 大於100000了，意思是
5^8 就大於 10^5 了。
所以第二個選項是錯的。《如果真的想比較精細地去算，可以對式子兩邊同取log，然後解解看，
反正試卷後面有一些對數值可以查，也不至於花太久時間。》
《第三次看到這個選項時，我想到了其他判斷方法，不過可能沒那麼直觀就是了，因為
5^10 = 25^5 ，那結果就很明顯了。》
第三個選項，兩者個關係看起來較不明顯，我採取了兩邊同取 log 的方式，左邊得到100 log 2
，右邊得到 30 log 10 。
意思就是，左邊的值約等於100 * 0.3010 而右邊的值等於 30 * 10 ，哪個比較大就很明顯了。
所以第三個選項錯。
第四個，擺明就是要誤解我們，讓我們以為 log 的式子結果就是 3/2 = 1.5 ，當然這是沒道理的。
若要真的去算，也可以。
先把兩邊同乘以 2 《目的是讓右邊的 1.5 變成 3 ，因為整數次方比較容易比較》，得到左邊
式子為「底數為2，真數為3^2的log數」，那 2 的幾次方會等於 3^2 呢？
2^3 = 8 ，所以如果有個次方使得 2 的「某數」次方會等於 9 ，那這個「某數」必然大於 3 ，
答案就呼之欲出了。
第五個選項，不論第四個選項是怎麼求出來的，都可以知道這個選項是答案了。
如果要驗證，模仿第四個選項的方式，先讓右邊的數字變成整數，會好算許多。
6.根據台灣壽險業的資料，男性從 0 歲、1 歲、…到 60 歲各年齡層的死亡率(單位：%)
依序為
1.0250, 0.2350, 0.1520, 0.1010, 0.0720, 0.0590, 0.0550, 0.0540, 0.0540, 0.0520,
0.0490, 0.0470, 0.0490, 0.0560, 0.0759, 0.1029, 0.1394, 0.1890, 0.2034, 0.2123,
0.2164, 0.2166, 0.2137, 0.2085, 0.2019, 0.1948, 0.1882, 0.1830, 0.1799, 0.1793,
0.1813, 0.1862, 0.1941, 0.2051, 0.2190, 0.2354, 0.2539, 0.2742, 0.2961, 0.3202,
0.3472, 0.3779, 0.4129, 0.4527, 0.4962, 0.5420, 0.5886, 0.6346, 0.6791, 0.7239,
0.7711, 0.8229, 0.8817, 0.9493, 1.0268, 1.1148, 1.2139, 1.3250, 1.4485, 1.5851,
1.7353。
經初步整理後，已知 61 個資料中共有 24 個資料小於 0.2。請問死亡率資料的中位數
為下列哪一個選項？
(1) 0.2034
(2) 0.2164
(3) 0.2137
(4) 0.2085
(5) 0.2019
這一題，第一個問題是：「什麼是中位數？」
答案是「把數列依大小排序，排出來之後，中間的那個數。」
《例如給個數列「３，５，２６，５１，１３」，那「中位數」就是「１３」，第三大（或小）的數字》
第二個問題是：「那現在中位數是排序第幾大（或小）的數字？」
答案是６１個資料中，恰好在中間的那個，第３１個。
而現在有２４個資料小於 0.2 ，那就知道如果把這串數列給由小到大排序出來，前面２４個數字
小於 0.2，接著再數７個數字，就會數到第３１小的數字。《如果害怕算錯，也可以慢慢數，２５，
２６，２７，２８，２９，３０，３１共七個數字》
接著就是考驗眼睛的能力了。先找出比 0.2 大一點點的數，然後作排序，一直數到大於等於 0.2
的數列中的第７小的數，就是答案了。
（若少算一個而錯了，就當作是命吧XD）
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