聽聞到有人問這個問題,網路上一搜尋,跳出了一些持不同意見的文章,例如認為零非奇非偶的。

  在這邊彙整一下網路上搜尋常見的討論串中的討論,並挑一些論證上的錯誤出來(嘆)。

  我的意思是,我當然可以接受有人"定義"0非偶非奇,但當他試圖說服別人接受時,用的理由好歹要有道理吧。

 

  我先說我對「0是偶數嗎?」的回答:

  我的回答是「是」,0是偶數。

  偶數是可以寫成型為2xn,且n為整數的數,那0=2x0,所以0是偶數。

  例外情況是除非你認為0並不是一個整數,或並不是一個數字,那既然不是一個數字,就無所謂奇偶。

  或是你認為只有正整數才可以說是偶數或奇數,那麼0不是正整數,當然就也無所謂奇偶。

  但一般情況下,一般人所學、所用的數學領域中,0作為一個數字時,它就是偶數。

 

  接著引用以下幾篇談及「0並非偶數」文章中的論點,並挑錯。

  「「每日一句」(59)」:http://forum.hkej.com/node/102102

  這篇文章中的重點很簡單,他認為他"證明"了「0並非偶數」這件事情。證明方法如下:

  -----

  其實,昨日我已證明了0不是偶數。再證如下:
  偶數的定義為:可以用2整除的整數,
  按照這定義,0 ÷ 2 = 0,0也算整數,成立。
  但0 ÷ 3 = 0,0 ÷ 5 = 0,0 ÷ 7= 0,……0 ÷ n = 0
  說明這只是0的通性,非「用2整除」才有的特性。
  既然0的這種通性適合許多「數」的集合,而「可用2整除」只是這些集合中的1/n而已,我們怎可據此斷定「0是偶數」呢?

  -----(引用自上文連結)

  

  他的重點在於,0雖然可以被2整除,但是0其實可以被任何正整數整除,0 ÷ 2 = 0並不特別,所以不能把0 ÷ 2 = 0當成0的特性,所以"不能依此理由來證明0是偶數"。

  那我認為這個反駁其實沒什麼道理,首先從正面來看,只要能被2整除的整數就是偶數,那0確實可以被2整除,不管它有沒有任何其他性質,0÷2=0確實就是0這個數字的特性,所以0當然符合偶數的定義。

  一個數字擁有一個特性,並不會因為它擁有許多相似的特性,原本的特性就消失了。

  

  那從另個角度來看,假如這種反駁的方式可以成立,那也可以依同樣的理由來論述1並非奇數。

  -----

  奇數是除以2餘1的整數,1÷2=0......1沒錯,但是1除以任何大於1的整數都餘1:

  1÷3=0......1,1÷4=0......1,1÷5=0......1,...

  所以1除以2餘1只是1的通性的一部分,不能用來證明1是奇數。

  -----

  也可以用類似的理由來證明8並不是偶數,因為8不只可以被2整除,還可以被4跟8整除,所以可見8能被2整除只是8的通性的一部分,不能以此說它是偶數。

 

  總之我只是要指出上文中提及的證明方法是荒謬的。

 

  不過退一步來說,這個論證是"可能"有道理的,例如在什麼情況下有道理?

  例如符合有些人對「偶數」的直覺,有些人可能認為,正是因為某些數字有一種獨特的特性,所以我們才將它特別拉出來稱為偶數,而0並不在那些數字之中(即使它也擁有該特性)。

  這是利用「為何要定義偶數這種東西?」的想法來斷定0是否是偶數,而0並不是我們要定義偶數的理由。

  「可以被2整除」只是我們用了另一種較為簡短的方法來表達我們所說的偶數是什麼東西。

 

  如果覺得不太懂的話,我舉一個比喻,例如你去買午餐順便幫朋友買,你問朋友要吃什麼,他回答「跟你一樣」,那正常情況下就是你會買一個東西買兩份。

  而不正常的情況就是,你想了想肚子還沒那麼餓,還是先別吃午餐好了,就什麼都沒買。

  你什麼都沒買,所以你朋友的午餐也是什麼都沒有,這當然符合「跟你一樣」這四個字的定義,但是這並不符合你朋友說出「跟你一樣」這四個字時的「意圖」,他在說出這四個字時並沒有考慮到你可能什麼都不買的情況。

  就像定義偶數時可能沒有考慮到0這個數字一樣。

 

  不過如果我們想讓0跟負整數有奇偶性的話,那麼0是偶數比較可以吻合原本習慣的規則。

  例如我們知道「偶數-偶數=偶數」,4是偶數,4-4=0,所以0是偶數。

 

 

  再來看另外一篇:

  「請問一下:"0"是偶數嗎?」:http://www.mathland.idv.tw/forum/memo.asp?srcid=5277&bname=ASP

  這篇中提到:

  -----

  我知道偶數都可以寫成2n的形式,但是能寫成2n的都是偶數ㄇ?

  我在猜想,偶數的概念應該是由"配對"來的,
  配對之後沒有剩下的,叫做偶數

  配對之後有剩下的,叫做奇數

  0完全無法配對,真的是偶數嗎?

  -----(引用自上文連結)

 

  這是從只有正整數跟0的角度來看,例如國小可能會用"可配對"的方式來教"偶數"這種性質,就像上面說的一樣,這個數量可以平分,才是我們稱它為偶數的"目的"。

  那問題在於何謂"可以平分"?如果可以平分是指"可以平分成兩個正整數",那麼0當然不符合這個定義。

  但一旦我們把0當成一個數字,當成一個量,一個可以用來平分的東西,那麼0=0+0,0可以平分為0和0,這樣0就是偶數。

  應該說,如果你用"可配對"、"可平分成兩個正整數"的方式來作為"偶數"的定義,那麼你就不應該問「0是不是偶數?」這種問題,考試也不應該出現這種問題,因為這是屬於"不需要去問"、"未定義"的問題。

  當你問及「0是不是偶數」這種問題時,應該是你要拓展數系,將原本的正整數和0加上負整數進去,這時候你希望原本的各種定義可以沿用到負整數和0時,我們才需要問這個問題(這個問題才有意義),我們才會定義一個答案給它,也就是它是偶數。

  原本的定義可能是「偶數是可以寫成2xn,且n是"正"整數的數」,數系擴充後就改為「且n是整數的數」。

 

  在看另外一篇:

  「[求助]奇數與偶數」:http://mtedu.utaipei.edu.tw/mathweb/showtopic.asp?TOPIC_ID=1863&Forum_id=51&page=1&sdt=

  這篇我只是想挑其中一個錯,其他部分上面應該都有提及了。

  -----

  我們不妨先參考歐幾里得幾何原本定義:

  定義6.偶數是能被分成兩個相等部份的數。
  定義7.奇數是不能被分成兩個相等部份的數,或者它和一個偶數相差一個單元。

  看到定義,問題來了,0到底可不可以被divide成兩部份相等的數?
  請大家想想吧 :)
  ***

  贊成0不可以被divide的觀點:(也就是0既非偶數亦非奇數)
  http://mathforum.org/library/drmath/view/55722.html 
  http://mathforum.org/library/drmath/view/53336.html 

  支持0是偶數的觀點:
  http://mathworld.wolfram.com/EvenNumber.html 

  -----(引用自上文)

  這位發文者提及「贊成0不可以被divide」觀點的兩篇文章,其實並不是在講這件事情。

  那兩篇文章都是在討論「為什麼數字不能除以0?」或是「一個數字除以0會怎樣?」。

  跟0能不能被數字整除一點關係也沒有,當然也沒有討論到0是不是偶數這種問題。

  

  https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/bookVII.html

  至於使用《幾何原本》中的定義來說0的奇偶性其實是過度延伸了,因為說不定在那個年代,人們根本還沒有數字0這個概念(這點我不是很確定,但我確定希臘(西洋數學史)從正數到0和負數花了很長一段時間,所以很可能那時候還沒有0是一個數字的概念,有興趣的讀者可以自行上網google,例如搜尋《此零非彼零》),如果沒有數字0的概念,偶數的定義當然也不會包含0。

  所以透過「0並不符合《幾何原本》中定義的偶數」來論證0不是偶數,其實就相當於在說「0並不是一個數字」。

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  2018/08/14 更新

  https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/bookVII.html

  上面連結是《幾何原本》第七冊,定義6和7確實是上述引文所寫的。

  但是來看定義1跟2。

  Definition 1

  A unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one.

  意思大概是「一個單位是存在的東西中的每一個,稱為1。」(我也不知道該怎麼翻)

  Definition 2

  A number is a multitude composed of units.

  意思大概是「一個數是一個群體由複數個單位組成。」

 

  很顯然這個定義並不包含0,所以在幾何原本中,0並不是一個數字。

  -----

 

  但若是要延伸數系,把0當成一個數字的話,對應的定義當然也要視情況修改。

  

  總之,如果你有必要要問「0是偶數嗎?」這種問題,那麼答案就是「0是偶數」。

  而如果你根本還沒有學到0這個數字,或者你還沒有把數字當成一種抽象概念去運算,那麼0是不是偶數這件事情對你也沒有意義,根本不會、也不需要去想這個問題。

  但一但哪天你需要想了,例如你在思考「我有0塊蛋糕,可以均分給2個人嗎?」這種問題時,赫然覺得2個人都什麼都沒拿到,也是一種有意義的均分時,那麼0就是偶數了。

 

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