我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網誌！想聊就聊吧～

　　話說在前頭，這篇文章對你怎麼找因數倍數、怎樣快速地計算短除法，最大公因數跟最小公倍數怎麼算，都沒什麼關係。

　　純粹是在孩子問我什麼是因數時，想到很美的一種比喻。

　　我們知道因數跟倍數有互相對應的關係，也大概能從「因數分解」裡看見「分解」兩個字，所以因數應該跟「分解」有關係，所以是什麼關係？

　　給一個中文字－－「想」，這個字有什麼樣的性質？

　　我們可以用其他字來解釋它，例如：「思考」、「渴望」；

　　也可以來看看它的筆劃數：１３劃；

　　也可以看它是由哪些字組成的：「木」、「目」、「心」。

　　我們可以用不同的角度來看一個中文字，在查字典或上網搜尋的時候，我們也可以依照「意思」來找，或依照筆劃數來找，或者字典上常有的「部首」來查這個字，這些東西都是這個字某部分的性質。

　　如果我們夠無聊的話，也可以觀察到其他性質，例如「有幾個夾角？」、「發音幾聲？」、「詞性是？」……

　　中文字有各種性質，同樣地，數字也有各種性質，例如「８」

　　圖形上來看，它上下對稱；

　　以數量的角度來看，用Ｏ來計數會是：「ＯＯＯＯＯＯＯＯ」

　　也可以看到它是只有個位數；

　　它也是一個偶數；

　　最後，就是這篇文章要講的，８＝２ｘ２ｘ２，它可以用３個２經由乘法組成。

　　所謂的因數倍數，可以說是我們看待數字的「某種角度」，若要與中文字做個類比的話，這個角度就像是中文字的分解／組成吧。

　　以剛才的「想」為例，我可以將它分解成「木」、「目」、「心」，分解出來的這三個字，都是「想」的＂因數＂。

　　當然「想」也可以用不同的方式分解，變成「相」跟「心」，我們就能看見，「相」也是組成「想」的一部份，也是「想」的＂因數＂。

　　從這個角度來發想，

　　「想」跟「愛」的＂公因數＂有什麼呢？有「心」；

　　「林」跟「森」的＂公因數＂有「林」；

　　「兩」跟「車」的＂公倍數＂有什麼呢？有「輛」；

　　「估」跟「固」的＂公倍數＂有「個」。

　　＂公因數＂是什麼？就是兩個字共同有的東西；而＂公倍數＂就是一個新的字或詞，它裡面有原本的兩個字。

　　在中文字裡，我們的分解組成是直覺的，把一個字拆成很多個字，或把很多個字合在一起變成一個字。

　　在數字裡，我們又要怎麼分解組成呢？就是用「乘法」。

　　你或許會問，為什麼不用「每位數分別是多少」來分解就好了呢？當然要怎麼分都可以，只是那樣分有沒有趣？有沒有用？

　　只分成「每位數分別是多少」就像是用筆劃數來論中文字，或許查字典時很快，但我們能從筆劃數得知的資訊不多。

　　想起中文字的「部首」了嗎？一個字的部首或多或少跟字本身的意思有關；同樣地，你可以這麼想，對於一個正整數來說，它的因數是跟它的性質非常有關的。

　　舉例來說，

　　如果一個數字有２這個因數，那麼它是偶數；

　　如果一個數字有１０這個因數，那麼它的個位數是０；

　　如果一個數字有３跟５這兩個因數，那麼它可以被１５整除；

　　你甚至不需要知道這個數字是什麼，只要稍微了解它的一些因數，就能從這個部份去掌握到原本數字一部份的性質。

　　所以當我們寫：

　　１２＝２ｘ２ｘ３

　　１８＝２ｘ３ｘ３時，

　　它們的公因數是它們共同有的部分，２、３，還有２ｘ３，而２ｘ３是它們的最大公因數。

　　它們的公倍數是它們有的綜合，公倍數裡面既要有２ｘ２ｘ３，也要有２ｘ３ｘ３，合在一起就是２ｘ２ｘ３ｘ３，而這是它們的最小公倍數。

　　這裡有幾個問題：

　　「為什麼要限定於正整數呢？我用乘法隨意的分解不好嗎，例如１２＝２４ｘ０.５」

　　想想中文字的分解，一個分解要有意思，才是一個好的分解。

　　如果我把「想」這個字，分解成：「十八口一一、、ㄩ，」這樣的分解能看出什麼東西嗎？

　　在中文字的分解時，我們把分解的方式侷限了，這才讓我們的分解有意思，我們可以看到「心」跟「想」是有關聯的。

　　或是誇張一點，我把一筆劃分成１０次畫完，分解出來就有１０劃，這樣分解可以無窮無盡地分下去，而且似乎不能看出什麼。

　　我們分解時還是希望能看出一些模式，分出一些造型、特定的字；

　　數字也是，如果接受分解成任意的小數的話，那就像是把一筆劃分成１０劃，看不出什麼了。

　　「如果這麼說的話，那什麼字不能再分解？分到什麼程度才一定要停？」

　　以中文字的角度來講，我們可能會認為有「連接」的筆劃不能分開各自形成獨立的字。

　　所以「口」、「木」、「目」，就不能再分解了。

　　而且不能分解成沒有意思的字，例如「心」的筆劃雖然沒有連在一起，但再分解就不成一個字了，所以「心」也不能分解。

　　以中文字的角度來討論，可能會有一些困境（但我這裡提的當然都是簡單的例子）；

　　但以數學來講，何謂「不能分解」？那就是「質數」。質數不能再寫成兩個大於１的正整數相乘，所以它們不能再分解。

　　所以也可以說「口」、「目」、「心」這些中文字，是中文字裡的＂質數＂，而所有的中文字要不然自身是＂質數＂（不能再分解），要不然是可以分解成許多＂質數＂。

　　想想看我們怎麼造字的，就是把一些字組合或混合在一起，基本的單位就是＂質數＂。

　　在想因數倍數的數學問題時，有時候也是在「造字」：「我要一個２的倍數，它還要有７這個因數，所以我最少要找的數是……」

　　期望這篇文章能帶給你一種新的角度，跳脫純粹的計算、應用問題，而是從一種「美」的角度來看待數字因數倍數的性質，它就是數字用乘法角度來看的「分解／組成」。

　　就像分解出中文字的部首，能感覺到字的含意那樣；這樣因數倍數的分解方式，也能捕捉到數字有的一些性質。